Wie Bestimme ich das Schnittvolumen (Mathe-Modul)?

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3 Antworten

"Homogen" brauchst du in diesem Fall nur dafür, dass auch die geometrischen Mittelpunkte zusammenfallen. Die Höhe des Zylinders ist so groß, dass ihre genaue Größe für die Aufgabe keine Rolle spielt.

Überleg dir, in welche bekannten Figuren du die Schnittfigur zerlegen kannst.

Dazu ist es praktisch immer hilfreich, die Schnittlinien der Oberflächen der beiden Körper zu kennen.

In diesem Fall sind die Schnittlinien Kreislinien.

Die dadurch bestimmten Kreise teilen den Schnittkörper in ein paar (wie viele?) Teile, deren Volumina in Formelsammlungen zu finden sind.

Also ich würde es so machen: 

 Nun gilt es zuerst den Zylinder im Innern der Kugel zu berechen. Wenn du das exemplarisch in 2D zeichnest (Kreis und Zylinder(Rechteck) mit dem gleichen Schwerpunkt) so fällt auf, dass ein Rest zwischen dem Kreis und der Oberfläche des Zylinders (kürzere Seite des Rechteckes mit der Länge des Durchmessers der Grundseite des Zylinders) im Innern gibt. Zur Berechnung des inneren Zylinders wenden wir hierbei den Pythagoras an. Die Ecken des Rechteckes liegen ja auf dem Kreis und haben die Entfernung R zum Mittelpunkt des Kreises, dies hilft uns nun dabei die Länge (längere Seite des Rechteckes im Kreis) zu berechnen:

(R/2)² + c² = R²   Umformen nach der halben Länge des Rechteckes (c)

c = ( R² - (R/2)²)^(1/2) = (R/2)*(3)^(1/2) 

Damit wäre die Länge des Rechteckes und somit die Höhe des inneren Zylinders 2*c = H = R*(3)^(1/2) 

Nun kannst du das Volumen des inneren Zylinders berechnen:

V(i) = A*2c     

Nun ist noch ein kleiner Rest übrig den es zu berechnen gilt:

Um dessen Volumen zu berechnen benutzen wir die Integralrechnung für das Volumen eines Kreises:

V(h) = Integral [von c bis R] von{ pi *(R² -h²)dh } ; und multiplizieren das Ergebnis mit 2, da dies ja nur der Hälfte des Restes entspricht:

Also lautet das Schnittvolumen:

V(i) + 2* Integral [von c bis R] von{ pi *(R² -h²)dh } = V(s) 

wobei V(s) dem Schnittvolumen entspricht.


Das Schnittvolumen besteht aus einem Zylinder der Höhe H = R√3 

und zwei Kugelsegmenten der Höhe h = (1 ‒ ½√3) R.

Volumen eines Segments ist V = ⅓π h² (2 + ½√3) R.

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