Wie berechnet man Grenzwerte bei den ganzrationalen Funktionen?

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Hier ein Beispiel: Gegeben ist die Funktion f(x) = x^7 + x³.

Für die Grenzwertbestimmung von ganzrationalen Funktionen ist immer nur der Term mit dem größten Exponent von Bedeutung. Das ist in dem Fall x^7. Um also den Grenzwert für +∞ zu bestimmen, müssen wir eine riesig große Zahl (∞) in x^7 einsetzen. Wir nehmen also eine positive Zahl 7 mal mit sich selbst mal. Wie soll da jemals eine negative Zahl rauskommen? Das Ergebnis wird mit Sicherheit positiv sein deshalb:

lim      x^7 + x³ =
x-->∞

Wollen wir jetzt allerdings den Grenzwert für -∞ bestimmen, müssen wir etwas genauer überlegen. Wir nehmen also eine ziemlich kleine negative Zahl (-∞) 7 mal mit sich selbst mal. Jetzt passiert aber folgendes. Wir nehmen jeweils den 1. und 2. , 3. und 4. , 5. und 6. Term miteinander mal und die ganzen Minuse verschwinden (denn - mal - gibt +). Das Minus vom 7. Term bleibt allerdings, weil er "keinen Partner hat". Deswegen wird das Ergebnis auch negativ sein sein, deshalb:

lim       x^7 + x³ = - ∞
x--> -∞

Ich hoffe ich konnte helfen :)

Kann man das so sagen, dass, wenn der höchste Exponent ungerade ist, dann ist das dann auch -Unendlich? Weil 7 ist ja ungerade deswegen, minus unendlich und bei plus unendlich, ist es plus unendlich, weil da niemals eine negative Zahl herauskommen kann, oder?

0

Vergleiche die höchste Potenz im Zähler mit der im Nenner. Ist die im Zähler größer, geht der Grenzwert gegen Unendlich (ob + oder - entscheidet sich anhand dessen, ob die Differenz gerade oder ungerade ist, ob Zähler oder Nenner negative Werte annehmen etc.) Ist die Potenz im Nenner größer als im Zähler, ist der Grenzwert 0. Sind die höchsten Potenzen gleich, betrachte die nächsthöheren Potenzen.

der lim für x^ungerade läuft bei x gegen minus unendlich immer ins Minus. Jetzt mußt Du noch das Vorzeichen davor beachten. Ist der Koeffizient auch negativ, so ist der Grenzwert plus unendlich (minus mal minus).

x^gerade ist immer positiv. Hier für den Grenzwert dann auch auf das Vorzeichen achten.

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