Wie berechnet man diese INH DGL (y´=y/x+x+2x^2 für x>0)?

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1 Antwort

x´(t) = x(t)/t + t + 2t²  , t > 0

Lösung per Variation der Konstanten:

Homogene Gleichung:  x´(t) = x(t)/t

-->  x´(t)/x(t) = 1/t    für t > 0 und x(t) ungleich 0

Mittels Integration folgt dann:

log|x(t)| + const = log|t| + const   II exp(...)

--> |x(t)| = exp(const)*|t| = exp(const.)*t    mit t > 0

Mittels Monotonie, stetiger Diffbarkeit und t > 0 folgt:

x_h(t) = K*t  , t > 0    homogene Lösung


Lösen der inhomogenen Gleichung: 

x(t) = K(t)*t 

--> K´(t)*t + K(t) = (K(t)t)/t + t + 2t² 

--> K`(t)*t = t + 2t²

--> K`(t) = 1 + 2t   mit t > 0

Integration liefert:

K(t) + const = t + t² + const.

--> K(t) = t + t² + const.

Also lautet die Lösung:

x_ges(t) = (t + t² + const.)*t = t² + t³ + t*const.


Einsetzen in obige Gleichung zur Kontrolle liefert uns dann:

2t + 3t² + const = t + t² + const + t + 2t²

--> 0 = 0


Somit haben wir also die allgemeine Lösung der inhomogen DGL gefunden.


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