wie berechnet man diese Funktion normalform zur scheitelpunktform?

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5 Antworten

Mut zur Lücke!

http://dieter-online.de.tl/Quadratische-Erg.ae.nzung.htm

y = -3x² + 6x   + 1                           |  Gleichung splitten
y = -3 (x² - 2x +       ) +        + 1

Quadratische Ergänzung heißt, in die Klammer etwas Positives hineinschreiben, was man man gleich wieder subtrahiert. Doch vor der Klammer steht -3
dehalb muss man es nicht subtrahieren, sondern addieren
und dann auch noch mit 3 multiplizieren, damit der Wert in der Klammer wirklich kompensiert wird. Das überlegt man sich am besten vorher und füllt die Schablone so aus.
Diese wird nicht noch einmal abgeschrieben, sondern nur ausgefüllt!

In der Klammer ist durch Halbieren/Quadrieren das Binom zu ergänzen:
2 / 2 = 1  und dann 1² . Das ist hier einfach. Dann allerdings auch mal 3 .
Danach sieht die Schablone so aus:

y = -3 (x² - 2x +  ) +   3   + 1    |   Binom erstellen
y = -3 (x - 1)²  +  4

Daraus ergibt sich der Scheitelpunkt   S (1|4)
Der x-Wert muss ja umgedreht werden.

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allgemeine Form f(x)=a2*x^2+a1*x+ao

Scheitelpunktform f(x)= a2 *(x - xs)^2 +ys

Scheitelkoordinaten xs= - (a1)/(2*a2) und ys= - (a1)^2/(4*a2) +ao

bei dir a2= - 3 und a1= 6 und ao= 1 eingesetzt

xs== - (6)/(2 * -3)= - 6/(- 6)= 1 und ys= - (6)^2/(4 * - 3) +1= -36/(-12)+1= 4

also Scheitelpunktform f(x)= - 3 *(x - (1))^2 + 4= - 3 *(x - 1)^2 +4

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du musst es erst so umstellen das du nur x² hat ohne minus und ohne Zahl davor. Dann musst du es in die Formel des Schietelpunktes einsetzten.

Brauchst du die Formeln auch?

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y = -3x^2 + 6x + 1

= -3*(x^2 - 2x - 1/3)

= -3*(x^2 - 2x + 1 - 1 - 1/3)

= -3*((x - 1)^2 - 4/3)

= -3*(x-1)^2 + 4

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xlOguzhan 10.11.2016, 20:49

von wo hast du die 4/3 wie bist du von 1/3 auf 4/3 her?

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poseidon42 10.11.2016, 21:14
@xlOguzhan

Ich addiere 1 und ziehe dann sofort diese wieder ab. Diesen 2 Trick bezeichnet man als "kreative Null". Ein paar Beispiele:

1)

y = x² + 2x  

Sieht ja schon fast aus wie eine binomische Formel, daher helfen wir nun mit der kreativen Null nach:

y = x^2 + 2x + 1 - 1

Binomische Formel zusammenfassen und schon sind wir fertig:

y = (x + 1)^2 - 1

2)

y = 5x^2 + 7x - 13

Zuerst die 5 Ausklammern:

y = 5*(x^2 + (7/5)x - (13/5))

Wir sehen auch hier wieder mit x^2 + (7/5)x eine Ähnlichkeit zu einer binomischen Formel, daher kommt uns nun die kreative Null zur Hilfe:

y = 5*(x^2 + 2*(7/10)x + (7/10)^2 - (7/10)^2 - 13/5)

Nun die binomische Formel zusammenfassen:

y = 5*((x + (7/10))^2 - (7/10)^2 - 13/5)

Nun soweit wie möglich zusammenfassen:

y = 5*(x + 0.7)^2 - 5*(7/10)^2 - 5*(13/5)

Weiter zusammenfassen:

y = 5*(x + 0.7)^2 - 49/20 - 13

Weiter zusammenfassen:

y = 5*(x + 0.7)^2 - (49 + 260)/20

Und damit schließlich:

y = 5*(x + 0.7)^2 - 309/20

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