Wie berechnet man die Länge sowie die notwendige Kraft bei der Auslenkung zweier kombinierter Federn?
Ich stehe derzeit vollkommen auf dem Schlauch, jedoch sollte ich bestenfalls bis ca 24Uhr heute verstehen, wie und warum sich folgende Aufgabe lösen lässt:
"Eine Feder mit einer Federkonstanten von 94N/m ist 13cm lang. Eine andere Feder mit 208 N/m ist 17 cm lang. Beide Federn werden aneinander gehängt. An den Enden wird gezogen, bis die Federn gleich lang sind."
a) Wie lang sind nun die Federn einzeln? b) Wie viel Kraft ist erforderlich?
Herzlichen dank :)
3 Antworten
Grundsätzlich gilt für die Länge jeder Feder, dass sie aus der Eigenlänge L0 sowie der Auszugslänge La besteht. Die Gesamtlänge Lg beträgt dann:
Lg = Lo + La
Die Auszugslänge La berechnet sich aus F = D * La zu:
La = F / D
Nun bezeichne ich Feder 1 mit Index 1 und Feder 2 mit Index 2:
Für Feder 1 gilt:
Lg1 = Lo1 + F1 / D1
und für Feder 2 gilt:
Lg2 = Lo2 + F2 / D2
In der Aufgabe wirkt auf beide dieselbe Kraft, also gilt: F1 = F2 = F
und es wird gefordert: Lg1 = Lg2
also setzen wir beide Gleichungen gleich:
Lg1 = Lg2 also:
Lo1 + F / D1 = Lo2 + F / D2
Das müssen wir nun nach F auflösen:
F / D1 - F / D2 = Lo2 - Lo1
ausklammern:
F (1/ D1 - 1/ D2) = Lo2 - Lo1
das ergibt:
F = (Lo2 - Lo1) / (1/ D1 - 1/ D2)
eingesetzt:
F = (0,17m - 0,13m) / (0,0106 N/m - 0,0048 N/m) = 0,04 m / 0,0058 N/m = 6,9 N
Probe:
Feder1:
La1 = 6,9 N / 94 N/m = 0,073 m = 7,3 cm
Lg1 = 13 cm + 7,3 cm = 20,3 cm
Feder2:
La2 = 6,9 N / 208 N/m = 0,033 m = 3,3 cm
Lg2 = 17 cm + 3,3 cm = 20,3 cm
stimmt also...
Ergebnis: Mit einer Kraft von 6,9 N werden beide Federn auf eine Länge von 20,3 cm ausgezogen.
Feder Nr. 1 (Federkonstante D1, Ruhelaenge L1) sei an einer Wand befestigt, Feder Nr. 2 (Federkonstante D2, Ruhelaenge L2) in Reihe dahinter. Die Anordnung verlaufe horizontal in einer Linie, etwa so:
||--/\/\/\/\/--|--/\/\/\/\/\/\/\/\/\--
0 m(s) s
s bezeichnet den Endpunkt der zweiten Feder, m(s) die Stelle, an der die beiden Federn aufeinandertreffen. Fuer die Energie des Systems gilt:
E(s) = 1/2 D1 (m(s) - L1)^2 + 1/2 D2 (s - m(s) - L2)^2
Zu gegebenem s kannst Du m(s) bestimmen, indem Du guckst, fuer welches m diese Energie minimal ist. Ich erhalte:
m(s) = (D1 L1 - D2 L2) / (D1 + D2) + D2 / (D1 + D2) s
Die Aufgabe verlangt nun m(s0) = s0/2, wobei s0 die gesuchte Laenge (beider Federn zusammen) ist. Diese Gleichung kannst Du nach s0 aufloesen:
s0 = 2 (D1 L1 - D2 L2) / (D1 - D2)
Die Kraft, die in diesem Zustand wirkt, ist die Ableitung der Energie nach dem Weg, d.h.:
F = E'(s0) = D1 D2 / (D1 - D2) * (L1 - L2)
Mit den Werten D1 = 94N/m, L1 = 13cm, D2 = 208N/m, L2 = 17cm komme ich auf s0 = 40.6cm (bzw. 20.3cm pro Feder) bei einer Kraft von F = 6.86N.
Mit F = 0,686N werden beide Federn auf die gleiche Länge 0,02m gedehnt.
Gruß, H.
