Wie berechnet man die Länge sowie die notwendige Kraft bei der Auslenkung zweier kombinierter Federn?

3 Antworten

Grundsätzlich gilt für die Länge jeder Feder, dass sie aus der Eigenlänge L0 sowie der Auszugslänge La besteht. Die Gesamtlänge Lg beträgt dann:
Lg = Lo + La

Die Auszugslänge La berechnet sich aus F = D * La zu:
La = F / D

Nun bezeichne ich Feder 1 mit Index 1 und Feder 2 mit Index 2:
Für Feder 1 gilt:
Lg1 = Lo1 + F1 / D1

und für Feder 2 gilt:
Lg2 = Lo2 + F2 / D2

In der Aufgabe wirkt auf beide dieselbe Kraft, also gilt: F1 = F2 = F
und es wird gefordert: Lg1 = Lg2
also setzen wir beide Gleichungen gleich:
Lg1 = Lg2 also:
Lo1 + F / D1 = Lo2 + F / D2

Das müssen wir nun nach F auflösen:
F / D1 - F / D2 = Lo2 - Lo1

ausklammern:
F (1/ D1 - 1/ D2) = Lo2 - Lo1

das ergibt:
F = (Lo2 - Lo1) / (1/ D1 - 1/ D2)

eingesetzt:
F = (0,17m - 0,13m) / (0,0106 N/m - 0,0048 N/m) = 0,04 m / 0,0058 N/m =  6,9 N

Probe:
Feder1:
La1 = 6,9 N / 94 N/m =  0,073 m = 7,3 cm
Lg1 = 13 cm + 7,3 cm = 20,3 cm

Feder2:
La2 = 6,9 N / 208 N/m = 0,033 m = 3,3 cm
Lg2 = 17 cm + 3,3 cm = 20,3 cm

stimmt also...

Ergebnis: Mit einer Kraft von 6,9 N werden beide Federn auf eine Länge von 20,3 cm ausgezogen.

Feder Nr. 1 (Federkonstante D1, Ruhelaenge L1) sei an einer Wand befestigt, Feder Nr. 2 (Federkonstante D2, Ruhelaenge L2) in Reihe dahinter. Die Anordnung verlaufe horizontal in einer Linie, etwa so:

||--/\/\/\/\/--|--/\/\/\/\/\/\/\/\/\--
0           m(s)                  s

s bezeichnet den Endpunkt der zweiten Feder, m(s) die Stelle, an der die beiden Federn aufeinandertreffen. Fuer die Energie des Systems gilt:

E(s) = 1/2 D1 (m(s) - L1)^2 + 1/2 D2 (s - m(s) - L2)^2

Zu gegebenem s kannst Du m(s) bestimmen, indem Du guckst, fuer welches m diese Energie minimal ist. Ich erhalte:

m(s) = (D1 L1 - D2 L2) / (D1 + D2)  +  D2 / (D1 + D2) s

Die Aufgabe verlangt nun m(s0) = s0/2, wobei s0 die gesuchte Laenge (beider Federn zusammen) ist. Diese Gleichung kannst Du nach s0 aufloesen:

s0 = 2 (D1 L1 - D2 L2) / (D1 - D2)

Die Kraft, die in diesem Zustand wirkt, ist die Ableitung der Energie nach dem Weg, d.h.:

F = E'(s0) = D1 D2 / (D1 - D2) * (L1 - L2)

Mit den Werten D1 = 94N/m, L1 = 13cm, D2 = 208N/m, L2 = 17cm komme ich auf s0 = 40.6cm (bzw. 20.3cm pro Feder) bei einer Kraft von F = 6.86N.

Mit F = 0,686N werden beide Federn auf die gleiche Länge 0,02m gedehnt.

Gruß, H. 

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