Wie berechnet man die Asymptoten-Funktion?

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2 Antworten

Hi,

ich nehme an, du meinst die Funktion f(x) = x³ / (x-4)
(Klammersetzung).

Hier braucht man die Asymptote nicht zu berechnen, man "sieht" sie:

die Funktion hat eine Polstelle bei x=4, weil der Nenner dort Null ist.
D.h. f hat dort eine vertikale Asymptote der Gleichung x=4. (siehe Bild)

Gruß

P.S. Für "im Allgemeinen" habe ich jetzt keine Zeit.
Vielleicht geht noch jemand auf den Teil deiner Frage ein.

Vertikale Asymptote - (Mathematik, Kurvendiskussion)

Hi,

nun zu "allgemein":

eine vertikale Asymptote gibt es immer dann, wenn man folgende Situation hat:

f(x) = g(x) / n(x) , so dass es zwei reelle Zahlen a, b gibt mit

  g(a) = b  und n(a) = 0

Also Zähler(a) ≠ 0  und  Nenner(a) = 0 .

Denn dann gilt    (x→a) lim f(x) = +/- ∞.

Horizontale Asymptote

Diese Situation liegt vor, wenn  (x→∞) lim f(x) = a ,

also wenn f(x) gegen eine reelle Zahl strebt, wenn x gegen (+oder-) Unendlich strebt.

Beispiele:

f(x) = 5+3/x ; 

hier gilt  (x→∞) lim 3/x = 0, also (x→∞) lim f(x) = 5

(Horizontale) Asymptote ist die Gerade der Gleichung y = 5

2. Beispiel:      h(x) = (4x²+3x+1) / (x²-2x)

Wir teilen Zähler und Nenner durch x² und erhalten

h(x) = (4+3/x+1/x²) / (1-2/x)

Für x→∞ gehen die Terme 3/x, 1/x², -2/x  gegen Null, also

(x→∞) lim h(x) = 4/1 = 4

(Horizontale) Asymptote ist die Gerade der Gleichung y = 4

Dann gibt es noch allgemeinen Fall, dass eine beliebige Gerade
der Gleichung  y = mx+b  Asymptote einer Funktion f ist.

Der Fall liegt vor, wenn gilt

(x→∞) lim ( f(x) - (mx+b) ) = 0

Beispiel:

f(x) = (x³+3) / (x+1)

Behauptung: die Gerade der Gleichung  y = x-1  ist Asymptote von f.

Beweis:

f(x) - (x-1) = (x³ + 3) / (x+1) - (x-1) = [ (x²+3) - (x-1)(x+1) ] / (x+1) =

(x²+3 - (x²-1)) / (x+1) = 4/(x+1), also

(x→∞) lim ( f(x) - (x-1) ) = (x→∞) lim 4/(x+1) = 0

Wenn die Asymptote nicht gegeben ist, kann man sie durch Polynomdivision finden:

(x²+1) : (x+1) = x-1 + 4/(x+1)

Hier sieht man sofort, dass der Term 4/(x+1) gegen Null strebt und der Term x-1 die Asymptote ist.

Man kann das Prinzip noch verallgemeinern, so dass der Funktionsgraph einer beliebigen Funktion g Asymptote von f ist.

Man definiert:  g ist Asymptote von f, wenn gilt:

(x→∞) ( f(x) - g(x) ) = 0 ,

aber dieser Fall wird in der Schule wahrscheinlich nicht behandelt.

Gruß

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@eddiefox

Schreibfehler im Beispiel "beliebige Gerade":

f(x) = (x²+3) / (x+1)

also das x³ bitte durch x² ersetzen.

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Meinst Du die Asymptoten an den Definitionslücken (vgl. eddiefox) oder die (ganzrationale) Näherungsfunktion für "große" x-Werte (die deutet sich im Bild als quadratische Parabel an)?

Diese (in diesem Fall) Schmiegeparabel erhältst Du durch Polynomdivision:

x³ : (x - 4) = x² + 4x + 16 + 64/(x-4)

Der quadratische Teil ist der Term dieser Näherungsparabel.

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