Wie berechnet man die Asymptoten-Funktion?
Wie berechnet man die Asymptoten-Funktion im allgemeinen und wie für f(x) = x^3 / x-4?
Vielen Dank im voraus!
2 Antworten
Hi,
ich nehme an, du meinst die Funktion f(x) = x³ / (x-4)
(Klammersetzung).
Hier braucht man die Asymptote nicht zu berechnen, man "sieht" sie:
die Funktion hat eine Polstelle bei x=4, weil der Nenner dort Null ist.
D.h. f hat dort eine vertikale Asymptote der Gleichung x=4. (siehe Bild)
Gruß
P.S. Für "im Allgemeinen" habe ich jetzt keine Zeit.
Vielleicht geht noch jemand auf den Teil deiner Frage ein.
Hi,
nun zu "allgemein":
eine vertikale Asymptote gibt es immer dann, wenn man folgende Situation hat:
f(x) = g(x) / n(x) , so dass es zwei reelle Zahlen a, b gibt mit
g(a) = b und n(a) = 0
Also Zähler(a) ≠ 0 und Nenner(a) = 0 .
Denn dann gilt (x→a) lim f(x) = +/- ∞.
Horizontale Asymptote
Diese Situation liegt vor, wenn (x→∞) lim f(x) = a ,
also wenn f(x) gegen eine reelle Zahl strebt, wenn x gegen (+oder-) Unendlich strebt.
Beispiele:
f(x) = 5+3/x ;
hier gilt (x→∞) lim 3/x = 0, also (x→∞) lim f(x) = 5
(Horizontale) Asymptote ist die Gerade der Gleichung y = 5
2. Beispiel: h(x) = (4x²+3x+1) / (x²-2x)
Wir teilen Zähler und Nenner durch x² und erhalten
h(x) = (4+3/x+1/x²) / (1-2/x)
Für x→∞ gehen die Terme 3/x, 1/x², -2/x gegen Null, also
(x→∞) lim h(x) = 4/1 = 4
(Horizontale) Asymptote ist die Gerade der Gleichung y = 4
Dann gibt es noch allgemeinen Fall, dass eine beliebige Gerade
der Gleichung y = mx+b Asymptote einer Funktion f ist.
Der Fall liegt vor, wenn gilt
(x→∞) lim ( f(x) - (mx+b) ) = 0
Beispiel:
f(x) = (x³+3) / (x+1)
Behauptung: die Gerade der Gleichung y = x-1 ist Asymptote von f.
Beweis:
f(x) - (x-1) = (x³ + 3) / (x+1) - (x-1) = [ (x²+3) - (x-1)(x+1) ] / (x+1) =
(x²+3 - (x²-1)) / (x+1) = 4/(x+1), also
(x→∞) lim ( f(x) - (x-1) ) = (x→∞) lim 4/(x+1) = 0
Wenn die Asymptote nicht gegeben ist, kann man sie durch Polynomdivision finden:
(x²+1) : (x+1) = x-1 + 4/(x+1)
Hier sieht man sofort, dass der Term 4/(x+1) gegen Null strebt und der Term x-1 die Asymptote ist.
Man kann das Prinzip noch verallgemeinern, so dass der Funktionsgraph einer beliebigen Funktion g Asymptote von f ist.
Man definiert: g ist Asymptote von f, wenn gilt:
(x→∞) ( f(x) - g(x) ) = 0 ,
aber dieser Fall wird in der Schule wahrscheinlich nicht behandelt.
Gruß
Meinst Du die Asymptoten an den Definitionslücken (vgl. eddiefox) oder die (ganzrationale) Näherungsfunktion für "große" x-Werte (die deutet sich im Bild als quadratische Parabel an)?
Diese (in diesem Fall) Schmiegeparabel erhältst Du durch Polynomdivision:
x³ : (x - 4) = x² + 4x + 16 + 64/(x-4)
Der quadratische Teil ist der Term dieser Näherungsparabel.