Wie berechnet man die Anfangsgeschwindigkeit?

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7 Antworten

Neue Rechnung "wie üblich" ohne Luftreibung oder sonstige Bremsung. Diesmal kommt das Gleiche heraus wie bei lks72, könnte also stimmen. - Den mittleren Summanden in lks71s Wegeaddition verstehe ich immer noch nicht.


Zur vertikalen Geschwindigkeitskomponente, d.h. alle im folgenden Abschnitt bezeichneten Geschwindigkeiten sind vertikale Geschwindigkeiten. Der Springer

  • steigt im Zeitintervall t1 und
  • fällt im intervall t2 auf den Aufprallpunkt.
  • Für die (gesuchte) Ausgangsgeschwindigkeit ist v1 = g t1 (in Umkehrung des freien Falls g = 9,81 m/s² Fallbeschleunigung).
  • Die Summe der Zeiten t1 + t2 = T ist bekannt (T = 1,3 s)
  • Aufsteigend legt der Springer in der Zeit t1 eine Strecke s = g t1² / 2 zurück.
  • Fallend legt der Springer in der Zeit t2 eine Strecke s + h = g t2² / 2 zurück, wobei h die Turmhöhe (5 m) ist

Zusammenbasteln:

g t1² / 2 + h = [s + h = ] g t2² / 2

t1² + 2 h /g = t2² = (T - t1)²

2h / g = T² - 2 T t1

t1 = T /2 - h / (g T)

v1 = g t1 = g T /2 - h / T = 2,53 (m/s)


In der Horizontalen legt die Person 3 m in 1,3s zurück,also beträgt die horizontale Geschwindigkeit (von g nicht beeinflusst und die ganze Zeit)

vh = 3/1,3 ≈ 2,3 (m/s) (horizontale Geschwindigkeitskomponente, nach vorn gerichtet)


Betrag der Geschwindigkeit (des zusammengesetzten Geschwindigkeitsvektors) mit Pythagoras:

√ (2,3² + 2,53² ) ≈ 3,41 (m/s)

Die x - Komponente der Anfangsgeschwindigkeit ist ja einfach auszurechnen (x(t) = vx0 * t und nach vx0 auflösen).

Vertikal hast du die quadratische Funktion y(t) = -1/2 * g * t^2 + vy0 * t + 5.

Nun setzt du t = 1,3s ein und löst nach vy0 auf. Danach mit Pythagoras aus vx0 und vy0 die Anfangsgeschwindigkeit v0 berechnen.

Woher kenne ich bei deiner Rechnung y(t)? Die zweite Gleichung hat zwei Unbekannte.

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@psychironiker

für t=3s ist doch y(t)=y(1,3)=0, weil der Springer auf dem Boden landet.

Die einzige Unbekannte ist dann vy0

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@lks72

Jetzt verstehe ich, wie du das meinst: Du zählst drei Wege zusammen. Leider kommt nicht das Gleiche heraus wie bei meinem Ansatz.

Ich denke, dass an deinem Ansatz der Summand

vy0 * t

nicht stimmt, denn er setzt im Modell voraus, dass sich der Springer über die gesamte Zeit t mit der Geschwindigkeit vy0 bewegt (und einen entsprechenden Weg zurücklegt). Das ist aber nicht der Fall.

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@psychironiker

Natürlich "zähle ich drei Wege zusammen", dies folgt unmittelbar aus

a(t) = - g (die Beschleunigung ist konstant -g, positive Richtung nach oben).

Durch Integrieren erhält man

v(t) = - g * t + Konstante

=> v(0) = - g * 0 + Konstante

=> v0 = Konstante

=> v(t) = - g * t + v0.

Durch weiteres Integrieren folgt die Weg-Zeit-Funktion:

s(t) = -1/2 * g * t^2 + v0 * t + s0

Dies ist einfach das Weg - Zeit Gesetz des freien Falls.

Die drei Terme sind natürlich 3 Strecken, und ja, selbstverständlich werden sie alle miteinander verrechnet.

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Wenn man davon ausgeht, das der Springer waagerecht vom Turm abspringt, dann rechnet man im 1. Schritt die Fallzeit vom 5 m Turm

s = g/2 • t²

t = SQ ( 2 • 5 / g) = 1,0096 s

damit die Differenz zur waagerechten Geschwindigkeits-Komponente

1,3 - 1,0096 = 0,290 s

in dieser Zeit wurden 3 m Strecke zurückgelegt ==> v = 3m/ 0,290 s = 10,3 m/s waagerechte Absprunggeschwindigkeit

Der Springer kann aber nicht waagerecht vom Tum springen.

Dies lässt sich anhand folgender Probe einfach zeigen:

s = 1/2 * g * t^2 führt mit s=5m und t = 1,3m auf

g = 5,91, was falsch ist.

Der Springer springt wegen g > 5,91 auf jeden Fall nach oben.

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Rechnung "wie üblich" ohne Luftreibung oder sonstige Bremsung. - Zur vertikalen Geschwindigkeitskomponente:

  • Wenn ich aus t Sekunden lang falle, erreiche ich die Geschwindigkeit v = g t , wobei g = 9,81 m/s²
  • Wenn ich s =5 Meter tief falle, erreiche ich die Aufprall-Geschwindigkeit
  • v1 = √ ( 2 g s ) = √ ( 10 g ) ≈ 9,9m/s

In einem t,v-Koordinatensysten habe die Geschwindigkeit nach unten ein negatives Vorzeichen, so dass die lineare Funktion

v(t) = v0 - g t

die Geschwindigkeit in der Vertikalen zum Zeitpunkt t bei positiver (nach oben gerichteter) Anfangsgeschwindigkeit v0 enthält. v0 ist so zu wählen, dass die Funktion den Punkt

(t = 1,3 | -v1)

enthält, also

-√ ( 10 g ) = v0 - g * 1,3; mit g = 9,81 ⇒

v0 = 2,84 (m/s) (vertikale Geschwindigkeitskomponente, nach oben gerichtet)


In der Horizontalen legt die Person 3 m in 1,3s zurück,also beträgt die horizontale Geschwindigkeit (von g nicht beeinflusst und die ganze Zeit)

vh = 3/1,3 ≈ 2,3 (m/s) (horizontale Geschwindigkeitskomponente, nach vorn gerichtet)

Betrag der Geschwindigkeit aus beiden Komponenten mit Pythagoras, wie von lks72 vorgeschlagen.

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@psychironiker

Wieso hat er nach t=1,3 eine Geschwindigkeit von v1 = 9,9m/s? Das stimmt eben nur, wenn der Fall waagerecht ist. Wenn du nach oben mit 2,84m/s abhebst und dann wieder auf gleicher Höhe bist, dann hast du natürlich -2,84m/s als Geschwindigkeit, so weit komme ich mit. Aber dann stimmt doch der Rest nicht mehr. Die Zeit bis zum Aufprall ist doch dann viel kürzer als 1,3s (und auch unbekannt), somit kannst du auch die Endgeschwindigkeit so nicht bestimmen.

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@lks72

Ganz im Gegenteil; das Modell ist ein senkrechter (freier) Fall von 1,3 s, und zwar aus beliebiger Höhe. Die horizontale Bewegung spielt bei der Modellierung der vertikalen keinerlei Rolle, denn vertikale Geschwindigkeit verändert sich im beschriebenen Vorgang genauso wie bei einem senkrecht nach oben geworfenenen Ball. Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Zeit ist bei einer gegebenen Beschleunigung (hier: die Fallbeschleunigung) stets linear, und zwar unabhängig von der Ausgangsgeschwindigkeit oder deren Vorzeichen.

Bei freiem Fall aus einer beliebige Höhe wäre

  • das Vorzeichen der Geschwindigkeit in meinem Modell überall negativ;
  • der Graph der Funktion f: t -> v(t) in einem t,v-System ist
  • eine Gerade im 4. Quadranten.

Für die tatsächlich gegebene Bewegung ist

  • dieses Vorzeichen erst positiv (Bewegung nach oben),
  • dann 0 (höchster Bahnpunkt),
  • dann negativ (Bewegung nach unten;

der Graph der diese Bewegung beschreibenden Funktion g ist

  • eine Gerade im 1. und 4. Quadranten mit
  • positivem v-Abschnitt v0 ( = senkrechte Ausgangsgeschwindigkeit) und
  • Nullstelle bei positivem t ( = höchster Bahnpunkt),

die wegen gleicher Beschleunigung = gleicher Steigung aus dem Graph von f durch Parallelverschiebung in positive v-Richtung entsteht..

. . .

Auch ist das für die Funktionen f und g betrachtete Zeitintervall genau gleich. Die (senkrechte) Aufprallgeschwindigkeit ist im Fall der Funktion g dem Betrage nach geringer, und zwar genau um die (senkrechte) Ausgangsgeschwindigkeit nach oben.

Ich bleibe bei meiner Darstellung.

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@psychironiker

Natürlich hat die x-Komponente nichts mit der y-Komponente zu tun, dies ist ja vollkommen klar.

Für v(t) = gilt einfach v(t) = -g * t + v0 (nur senkrechte Komponente), dies folgt einfach aus der integration von a(t) = -g.

Für s(t) gilt demnach s(t) = -1/2 * g * t^2 + v0 * t + s0, und s0 = 5m.

Die s(t) Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel. Wenn du diese um einen bestimmten Betrag (eine Strecke) nach oben veschiebst, dann verändert sich die Nullstelle auch, diese ist aber eine Zeitnullstelle, und der Zusammenhang ist natürlich auch nicht linear.

Diese Funktion für die vertikale Streckenkomponente s(t) gilt unabhängig davon, wie groß die x-Geschwindigkeit ist, ob senkrechter, waagerechter, schräger Wurf, das ist alles egal.

Die Nullstelle ist laut Aufgabenstellung definitiv bei t=1,3s, und dort gilt auch logischerweise s(1,3) = 0.

Aus der Parabelgleichung hast du nur noch v0 als Unbekannte, und dies ist die Geschwindigkeit am Anfang nach oben. Die waagerechte Komponente ist selbstverständlich nur noch ein wenig Zusatzrechnerei, hat aber nichts mit dem Problem zu tun.

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@lks72

...kapiert. Ich komme inzwischen zum Gleichen, allerdings ist dein Weg über Integration deutlich eleganter.

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@psychironiker

Denkfehler bei mir:

"Wenn ich s =5 Meter tief falle, erreiche ich die Aufprall-Geschwindigkeit v1 = √ ( 2 g s ) = √ ( 10 g ) ≈ 9,9m/s "

stimmt nur, wenn die Ausgangsgeschwindigkeit 0 ist. Das ist hier aber nicht der Fall.

Neue Rechnung wie angegeben.

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Der Springer steht doch auf dem 5 m Turm, daher ist seine Anfangsgeschwindigkeit 0

Mit Anfangsgeschwindigkeit 0 bleibt er da auch schön stehen.

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N bissl Humor darf auch mal sein.

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v = s / t = (3 m) / (1.3 s) = 2.308 m/s

da fehlt aber die y komponente

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