Wie berechnet man den Inhalt der Figur im Bild ?

Hier ist das Bild mit der Figur - (Mathe)

2 Antworten

Hallo,

die Figur besteht aus einem Quadrat mit der Seitenlänge a und vier Halbkreisen mit dem Radius a/2, die sich gegenseitig überlappen.

Du hast einen Halbkreis, der nach unten offen ist, einen nach oben, einen nach links und einen nach rechts. Da sie sich überlappen, haben sie einiges von ihren Flächen gemeinsam. Dieses Gemeinsame, die Schnittmenge, ist gelb eingefärbt, der Rest bleibt weiß.

Nun stell Dir vor, daß die beiden Halbkreise, die nach unten und nach oben offen sind, komplett gelb eingefärbt wären.

Dann blieben nur noch die beiden weißen Flächen links und rechts.

Da zwei Halbkreise einen ganzen Kreis ausmachen, sind diese beiden weißen Flächen links und rechts das, was dem Quadrat an Fläche übrigbleibt, wenn Du die Fläche dieser beiden Halbkreise bzw. die Fläche eines ganzen Kreises abziehen würdest.

Da das Quadrat eine Seitenlänge von a hat, ist seine Fläche a².

Die Fläche eines Kreises berechnet sich nach der Formel Pi*r².

Da der Radius r hier die halbe Seitenlänge des Quadrates, also a/2 ist,

hat ein Kreis, der diesem Quadrat einbeschrieben ist und der genausogroß ist wie zwei Halbkreise, die Fläche Pi*(a/2)²=a²*Pi/4

Die beiden weißen Flächen links und rechts haben zusammen also die Fläche, die übrigbleibt, wenn Du die Kreisfläche von der Quadratfläche abziehst, also a²-a²*Pi/4.

Nun hast Du hier aber nicht zwei, sondern vier weiße Flächen. Wir müssen das Ergebnis also verdoppeln:

Fläche aller vier weißen Aussparungen zusammen:

2*(a²-a²*Pi/4)=2a²-a²*Pi/2

Nun möchtest Du nicht die weißen Flächen berechnen,, sondern die gelben.

Kein Problem. Die gelben Flächen sind die, die übrigbleiben, wenn wir die weißen Flächen von der Quadratfläche abziehen.

So erhalten wir für die gelben Flächen:

a²-(2a²-a²*Pi/2) und wenn wir die Klammer auflösen:

a²-2a²+a²*Pi/2

Da in jedem Summanden a² vorkommt, können wir a² ausklammern:

a²*(1-2+Pi/2)=a²*(Pi/2-1)=0,5708a²

Die gelben Flächen machen also 57,08 % der Quadratfläche aus.

Herzliche Grüße,

Willy

Ein Viertelkreis passt ja in ein Quadrat. In dem Quadrat wären dann pi/4 vom Kreis und der Rest ist leer. Das ganze musst du hier einfach achtmal anwenden. Also den Kreis mit dem Durchmesser a berechnen und acht mal (4-pi)/4 abziehen.

Kannst du mir nochmal die allgemeine Formel hinschreiben wäre nett :)

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