Wie berechnet man bei einem rechtwinkeligen Dreieck die Seiten, wenn nur die Winkel gegeben sind?

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9 Antworten

Nein, man kann die Seiten nicht eindeutig bestimmen, da unendlich viele Lösungen möglich sind.

Zur Veranschaulichung:
Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor. Jetzt verlängere die Katheten über die Hypotenuse hinaus und
zeichne mehrere Parallelen zur Hypotenuse ein.
Die so neu entstandenen Dreiecke haben alle die selben Winkel aber ganz unterschiedliche Seitenlängen.

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Kleine Übung: 

- Zeichne dir ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck. 

- Wähle dir einen der Eckpunkte aus und verlängere die beiden von diesem Punkt ausgehenden Seiten über die anderen Eckpunkte hinaus. 

- Wenn du jetzt die dritte Seite (die nicht deinen ausgewählten Eckpunkt berührt) parallel nach außen oder innen verschiebst, bekommst du jeweils Schnittpunkte mit deinen verlängerten Seiten. 

- Wenn du diese entstehenden Punkte als Dreieckspunkte nimmst, bekommst du jede Menge Dreiecke, die alle die gleichen Winkelwerte haben, aber unterschiedliche Seitenlängen.

- Damit hast du bewiesen, dass es nicht ein Dreieck mit der Winkelkombination gibt, sondern unendlich viele.

Merke dir: 

ein Dreieck wird eindeutig bestimmt durch 
- eine Seite und die anliegenden Winkel  (WSW)
- alle drei Seiten   (SSS)
- zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel  (SWS)
- 2 Seiten und den Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt   (SSWg)

Da du aber 3 Winkel gegeben hast, ist dein gesuchtes Dreieck nicht eindeutig bestimmt.

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Kommentar von denisesteinchen
17.10.2016, 12:52

Danke, jetzt kann ich meinem Mathe Lehrer wenigstens zeigen, dass ich mich informiert habe. Deine Antwort war sehr hilfreich! 😊👍🏼

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Dein Stichwort sind die Kongruenzsätze. Dreiecke mit drei gleichen Winkeln sind ähnlich. Sie lassen sich aber beliebig "zoomen". Beim Zoomen ändern sich die Längen der Seiten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz

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Ist das überhaupt möglich, wenn keine einzige Seitenlänge gegeben ist?

Stell Dir vor, Du bist in Vorderstadt und fragst nach dem Weg nach Hinterstadt. Du bekommst zwei Antworten:

  • A sagt: Du kannst da vorne links abbiegen und über Oberstadt fahren, oder geradeaus durch Unterstadt. Beide Wege sind gleich lang. Gute Fahrt!
  • B meint: Diese Frage ist nicht eindeutig zu beantworten. Deshalb kann ich Dir unmöglich weiterhelfen. Tut mir leid.

Wer von den beiden ist wohl Mathematiker :-)

Zu Deiner Frage: Natürlich kann man eine Aufgabe lösen, die mehrere oder keine Lösungen hat. Das Zauberwort heißt Lösungsmenge:

    𝕃 = { (c·sin 15°, c·sin 75°, c) : c>0 }

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Nein, das ist nicht möglich. Dir müssen  drei VONEINANDER UNABHÄNGIGE Größen gegeben werden. Wenn Dir nun zwei Winkel gegeben sind, ergibt sich automatisch der dritte Winkel als Differenz aus 180° und der Summe der übrigen Winkel. Eine solche Aufgabe ist also nicht lösbar.

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Wenn es um die Geometrie in der (euklidischen) Ebene geht, so gibt es keine eindeutige Lösung, wie dir andere schon erläutert haben.

Ginge es aber z.B. um ein Dreieck in der Sphärischen Geometrie, in der man sich mit "Dreiecken" auf der Oberfläche einer Kugel befasst, dann wäre das Problem durchaus lösbar. Die "Seitenlängen" eines sphärischen Dreiecks werden allerdings in Winkelform dargestellt. Zu einer echten "Längenangabe" für diese "Seiten" kommt man erst, wenn man die die "Seitenlängen" darstellenden Winkel mit dem Radius der Kugel multipliziert, auf deren Oberfläche das sphärische Dreieck liegen soll.

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Kommentar von denisesteinchen
17.10.2016, 15:46

Danke für deine Hilfe, aber es geht nur um ein ganz normales rechtwinkeliges Dreieck ohne Kugel. ;-)

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Wenn nur die Innenwinkel des Dreiecks gegeben sind, lassen sich mit dem Sinussatz lediglich die Seitenverhältnisse berechnen. Es gibt in diesem Fall folglich unendlich viele ähnliche Dreiecke.

Gruß, H.

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nein nicht möglich

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Kommentar von denisesteinchen
17.10.2016, 12:31

Danke, aber das lässt mein Mathe Lehrer sicher nicht gelten. 🤔

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Kommentar von Suboptimierer
17.10.2016, 13:04

Die Seite ist gut, gibt aber keine Lösung aus, sondern korrekt wieder, dass das nicht gelöst werden kann.

Fehler: Beide Winkel sind gegeben

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Kommentar von bergquelle72
17.10.2016, 13:08

Hahaha lustig!

Das geht nicht, egal wohin Du verlinkst!

.... zumal auch diese Seite sagt, dass es nicht geht  - habe es spaßeshalber mal ausprobiert.

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