Wie berechnet man die Fläche mit Integral?

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4 Antworten

Lass Dich von dem t nicht verwirren! Es steht lediglich für eine (unbekannte) Zahl. Ist evtl. in der Aufgabe gesagt, dass t>0 ist?

Du gehst also genau so vor, wie Du das von der Flächenberechnung kennst:
1. Nullstellen von f berechnen (das geht hier ziemlich gut, da Du x ausklammern kannst; dann wirst Du evtl. auf ein Binom stoßen!). [Nullstellen sind x=0 und x=4t]
2. Dann von 0 bis 4t integrieren; Stammfunktion siehe Volens. [Ergebnis: 16/3·t^4]
3. Da x=0 eine einfache und x=4t eine doppelte Nullstelle ist, berührt der Graph die x-Achse bei x=4t. Damit liegt der Teil des Graphen im Intervall [0; 4t] oberhalb der x-Achse. Das passt dazu, dass der Integralwert auf jeden Fall positiv sein muss.

Sollte In der Aufgabe nichts über t ausgesagt sein, kannst Du vorsichtshalber (für t<0) auch noch von 4t [<0] bis 0 integrieren. Dann kommt -16/3·t^4 raus, was wegen t<0 auch wieder positiv ist.

KDWalther 18.01.2016, 23:04

Peinlich, peinlich:

selbstverständlich ist -16/3·t^4 immer negativ, unabhängig von t.
Also liegt der Graph dann unterhalb der x-Achse.

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Hallo ananasmitsosse,

also, ich denke mit dieser Aufgabe stimmt irgendetwas nicht. Der Parameter t macht es erstens unmöglich eine oder mehrere konkrete Nullstellen aufzusuchen. Dann ist es aber theoretisch immer noch möglich allgemeine Nullstellen zu bestimmen, die von t abhängig sind. Dazu müsste man aber die f(x) = 0 setzen und notwendigerweise nach x auflösen. Nun haben wir hier aber ein Polynom 3. Grades, das auch noch additiv mit einer Exponentialfunktion verknüpft ist. Das kann man aber analytisch nicht mehr nach x auflösen. Diese Nullstellen müssten dann mit numerischen Verfahren bestimmt werden. Das wiederum macht nur Sinn, wenn zuvor Werte für t festgelegt werden. Oder soll es etwa heißen +4*(t^2)*x ? Da sähe es allerdings günstiger aus. Das würde auf die Lösung einer quadratischen Gleichung zumindest für die Bestimmung der Nullstellen hinauslaufen.

Bitte erst einmal klären!

Das ist eine Kurvenschar, bei der du das t behandelst wie jede andere Zahl auch.
∫ (1/4x³-2tx²+4t²x) dx = x^4/4 + (2tx³)/3 + 2t²x² + C

Erst wenn du dann irgendeine bestimmte Parabel ausrechnen willst, setzt du für das t einen gegebenen Wert ein und rechnest das Integral in den gewünschten Grenzen aus.

stekum 16.11.2015, 14:11

Kleiner Rechenfehler: ∫ ... = x⁴/16 ‒ . . . .

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f(x) = ¼x³ - 2tx² + 4t²x = ¼x(x² - 8tx + 16t²) = ¼x(x - 4t)² .

Nullstellen also x = 0 und x = 4t.

Stammfunktion zu f(x) = ¼(x³ - 8tx² + 16t²x) ist F(x) = ¼(¼x ⁴ - 2⅔tx³ + 8t²x²)

Die gesuchte Fläche ist daher F(4t) = 5⅓t⁴

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