Wie berechne ich solche Aufgaben (Bild)?

...komplette Frage anzeigen Bild der Aufgabe. - (Mathe, Quadratische Funktionen, Funktionsgleichung)

4 Antworten

Hallo,

das ist eine sogenannte Steckbriefaufgabe, bei der Du aus den Angaben Informationen über die zu bestimmende Funktion sammeln und mathematisch umsetzen mußt.

Es handelt sich um eine quadratische Funktion.

Das bedeutet, die Funktion hat das Schema f(x)=ax²+bx+c

Du mußt also die drei Unbekannten a, b und c aus den Angaben bestimmen.

Zum einen ist der Punkt (3|0) angegeben.

Den setzt Du in die Gleichung ein. Das bedeutet, Du setzt für x eine 3 ein und als Ergebnis die 0:

9a+3b+c=0

Das ist schon mal eine Gleichung. Zwei brauchst Du noch.

Für x<=5 monoton wachsend, für x>=5 monoton fallend bedeutet, daß der Funktionsgraph bei x=5 die Richtung wechselt. Das tut eine Parabel nur am Scheitelpunkt. Da die Funktion vor x=5 steigt, danach fällt, handelt es sich hier um ein Maximum.

An einem Maximum oder Minimum ist die Steigung der Parabel und damit die erste Ableitung gleich Null.

Das bedeutet: f'(x)=0

f'(x)=2ax+b

f'(5)=10a+b=0

Die Aussage, daß die negative Achse in einer Entfernung von 5 Einheiten vom Ursprung geschnitten wird, bedeutet einfach, daß der Funktionsgraph bei y=-5 die y-Achse schneidet.

Hier hast Du also den Punkt (0|-5), den Du ebenfalls in f(x) einsetzt:

f()=0a+0b+c=-5

Also: c=-5

Wenn f(x)=ax²+bx+c, dann ist c immer der Wert, an dem der Funktionsgraph die y-Achse schneidet, da brauchst Du gar nicht viel zu rechnen.

Die dritte Gleichung hat sich damit erledigt, weil c bestimmt ist.

Nun hast Du nur noch die beiden Gleichungen

 9a+3b-5=0 und
10a+b=0

b=-10a

Einsetzen in Gleichung 1:

9a-30a-5=0

Auflösen nach a:

-21a=5

a=-5/21

Da b=-10a, ist b=50/21

Die Funktionsgleichung lautet also:

f(x)=(-5/21)x²+(50/21)b-5

Herzliche Grüße,

Willy

Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung! 

Ich denke, dass ich das jetzt Verstanden habe!

Grüße,

Kevin

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Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Ich interpretiere es zunächst als klassische Steckbriefaufgabe für eine quadratische Funktion
f(x) = ax² + bx + c

Daher berechne ich sie auch mt den drei Punkten, die aus den Bedingungen 1 und 3 hervorgehen. Wenn der Scheitelpunkt bei (0|-5) liegt, habe ich die Bedingung

I      c = -5                    weil die x-Terme wegfallen.

Mit der Nullstelle (3|0) ergibt sich aber auch die NS (-3|0). Der Scheitelpunkt liegt ja auf der y-Achse. So gewinne ich die Gleichungen II und III.

II     9a + 3b + c = 0
III    9a  - 3b + c = 0

Ich gehe davon aus, dass du 3 Gleichungen nach dem Additionsverfahren berechnen kannst. Heraus kommt:      
a = 5/9         b = 0        c = - 5

Die Funktion heißt also:
f(x) = 5/9 x² - 5

Die mittlere Voraussetzung brauche ich nur noch zur Prüfung. Ersichtlich haben die Tangenten links von x = -5 (inkl. x = -5) durchgehend eine negative Steigung und die auf der anderen Seite eine positive. Für die Rechnung selbst war diese Angabe nicht nötig.

Wenn noch etwas unklar ist, frag ruhig!

Meiner Ansicht nach ist die Aufgabenstellung inkorrekt, denn eine Funktion steigt weder noch fällt sie im Scheitelpunkt. Sie kann nur monoton steigend (fallend) sein bis (ab) ausschließlich zum (dem) Scheitelpunkt

Macht das einen Scheitelpunkt nicht aus - das Steigung oder Fälle nur bis zu diesem Punkt gehen?

Oder meinst du die Kurve unmittelbar am Scheitelpunkt bezüglich "monoton"?

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@Menin123

Mich stört das <=, bzw. >=. Da bei x=5 offensichtlich der Scheitelpunkt liegt, ist sie für x<5 monoton wachsend und für x>5 monoton fallend.

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@Suboptimierer

Da hast Du völlig recht; das hat mich auch gestört. Eine solche Angabe würde eher zu einer Betragsfunktion passen.

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@Willy1729

Jetzt hast du mich ins Grübeln gebracht. Wenn das betrachtete Intervall x<=5 ist, dann gibt es keine Umgebung zu jedem Punkt des Intervalls, in der die Funktion der Aufgabenstellung fällt, also ist sie doch im Intervall monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend, weil bei x=5 die Steigung 0 ist.

Da muss ich wohl zurück rudern.

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@Menin123

der scheitelpunkt ist der punkt, an dem die steigung 0 ist und nichts anderes. in der aufgabe steht, dass am SP die funktion monoton wächst und fällt. das ist n widerspruch. Was ist n das für n aufgabensteller, da bekommt man ja kopfschmerzen

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f(x)=ax²+bx+c

f(3)=0:  9a+3b+c=0

f(0)=-5: c=-5

Scheitelpunkt in x=5 (f'(5)=0): 10a+5b=0

9a+3b=5

2a+b=0

3a+b=5/3

2a+b=0

a=5/3

b=-10/3

c=-5

f(x)=5/3x²-10/3x-5

Sieh Dir noch mal f'(5) an:

f'(x)=2ax+b

f'(5)=10x+b, nicht 10x+5b

Herzliche Grüße,

Willy

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