Wie berechne ich Schnittpunkte von einer Geraden mit einem Graphen?

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4 Antworten

Ich würde eine Spur anders vorgehen: Die Schnittstellen zweier Funktionen sind Nullstellen der Differenzenfunktion

d(x) = f(x) - g(x) = x e^(-x²) - x/e

Dieses Vorgehen ist auch in der Lösung angedeutet und hat den Vorteil, das d(x) selbst eine Funktion ist und entsprechende Eigenschaften hat. Die von f(x) und g(x) eingeschlossene Fläche ist der Fläche gleich, die d(x) mit der x-Achse einschließt; das ist übersichtlicher.

d(x) = 0 ⇒

0 = xe^(-x²) - x/e =

  • ausklammern

x (e^(-x²) -1/e);

  • Satz vom Nullprodukt: x1 = 0; weiter Lösungen:

e^(-x²) -1/e = 0; | + 1/e = e^(-1)

e^(-x²) = e^(-1); | ln ; | *(-1)

x² = 1;

x2,3 = ±1


Also nächstes ist zu prüfen, ob d(x) an seinen Nullstellen das Vorzeichen wechselt, denn dann ist das auch für die Integralfunktion der Fall, und deren Wert ist nur für solche Intervalle ein Flächeninhalt, für die er positiv ist. Ansonsten muss "von Nullstelle zu Nullstelle" gerechnet und die Beträge der Integrale addiert werden werden, um eine Maßzahl des Flächeninhalts zu erhalten.

Das Vorzeichen der Ableitung ist ein hinreichendes (aber leider kein notwendiges) Kriterium für einen Vorzeichenwechsel. Aber mal probieren:

d'(x) = e^(-x²) + x * e^(-x²) * (-2x) -1/e = (1 -2x²)e^(-x²) -1/e

  • d' ist symmetrisch zur y-Achse (wegen d'(x) = d'(-x); das Quadrat bei x hebt den Unterschied zwischen den Vorzeichen auf). Also brauche ich nur einmal zu rechnen für

d'(-1) = d'(1) = -2/e < 0

d'(0) = 1 + 0 -1/e > 0

Also "fällt" d(x) die Nullstellen -1 und +1 "herunter" und "steigt" in der Nullstelle 0 "empor"; das Integral von -1 bis 0 liegt unter der x-Achse und ist negativ, dasjenige von 0 bis +1 liegt über der x-Achse und ist positiv.

Da d'(x) achsensymmetrisch ist, ist d(x) punktsymmetrisch (zum Ursprung), und du brauchst nur das Integral von 0 bis 1 zu berechnen und zu verdoppeln. (Das hätte ich ohne den Trick mit der Differenzenfunktion d(x) wohl gar nicht bemerkt.)

Also ist die gesuchte eingeschlossene Fläche A:

A = 2 ∫ d(x) dx = [in den Grenzen 0, 1]

2 ∫ x e^(-x²) -x/e dx =

  • Differenz trennen, Faktor zum Integranden:

∫ 2 x e^(-x²) dx - ∫ 2 x/e dx =

-∫ -2x e^(-x²) dx - ∫ 2 x/e dx =

erstes Integral mit Substitutionsregel: -x² = t ⇒ -2x dx = dt

-∫ e^t dt - ∫ 2 x/e dx =

  • Das Folgende entspricht deinem Text "dann am Ende dieser eckigen Klammer unten 0 und oben 1 (ich weiß nicht wie man das am PC schreibt)"; ich weiß es auch nicht, wie das hier zu schreiben geht, aber egal: Es geht um die Stammfunktion in den Grenzen 0 bis 1

[ - e^t - x²/e ] (0; 1) =

[ - e^(-x²) - x²/e ] (0; 1) =

-e^(-1) -1/e - (-1 -0) =

1 - 2/e ≈ 0,264 (Flächeneinheiten)

Das ist genau das Doppelte der Lösung in deinem Buch, denn dort ist nur das Integral zwischen 0 und 1 angegeben. Tatsächlich schließen die Funktion f und g aber auch zwischen -1 und 0 eine Fläche ein, die aus Symmeetriegründen genauso groß ist.

psychironiker 02.12.2014, 12:03

Die Formulierung.

"Da d'(x) achsensymmetrisch ist, ist d(x) punktsymmetrisch (zum Ursprung)"

ist vielleicht missverständlich. Im Allgemeinen ist Stammfunktion nur zu (irgendeinem) Punkt auf der y-Achse punktsymmetrisch, wenn ihre Ableitung zur y-Achse symmetrisch ist. Im gegebenen Fall ist d(x) aber tatsächlich zum Koordinatenursprung punktsymmetrisch, weil d(x) diesen enthält.

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Schnittpunkt bedeutet, dass beide Gleichungen (Formeln) einen gemeinsamen/gleichen Wert haben, daher werden beide Gleichungen gleichgesetzt und nach X aufgelöst:

also:

Gl1=f1(x) = Gl2 = f2(x)

helloyouu 02.12.2014, 09:21

Hallo, danke.

Soweit bin ich auch schon gekommen, das wäre dann:

1/e = x mal e^-x² dann hab ich mal e gerechnet

x= (x-e^x²) mal e

und wie muss ich dann weiter vorgehen, dann ich 3 Schnittpunkte herausbekomme?

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g: y = x/e; f: y = xe^(-x²). f = g: x/e = xe^(-x²) Die erste Lösung x1 sieht man sofort: x1 = 0. Wenn x ungleich 0 ist, kann man beide Seiten durch x dividieren: 1/e = x^(-x²) Kehrbruch bilden: e = e^x² x² = 1 hat zwei Lösungen.

Beide gleichsetzen und nach x auflösen

helloyouu 02.12.2014, 09:21

Hallo, danke.

Soweit bin ich auch schon gekommen, das wäre dann:

1/e = x mal e^-x² dann hab ich mal e gerechnet

x= (x-e^x²) mal e

und wie muss ich dann weiter vorgehen, dann ich 3 Schnittpunkte herausbekomme?

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jurafragen 02.12.2014, 09:31
@helloyouu

Vielleicht solltest Du das noch einmal versuchen, diesmal aber mit den richtigen Termen. Die Ausgangsfunktion g sieht jedenfalls ganz anders aus und multiplizieren geht auch etwas anders.

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