wie berechne ich quadratischen Funktion?

... komplette Frage anzeigen

5 Antworten

1. Quadratische Ergänzung (Normalform in Scheitelpunktform)

Ich erkläre das immer gern am Beispiel.

Du hast eine Funktion f(x) = 2x² - 12x + 3.

Diese ist in der Normalform ax² + bx + c gegeben.

Wir wollen sie nun in die Scheitelpunktform a(x - d)² + e umformen.

Das geht dann so:

f(x) = 2x² - 12x + 3

Zuerst klammern wir (wenn vorhanden) die Zahl vor dem , den sogenannten Öffnungsfaktor aus, wobei wir die einzelne Zahl hinten, das sogenannte Absoluglied stehen lassen:

f(x) = 2(x² - 6x) + 3

Wir teilen also einfach die beiden vorderen Zahlen durch den Öffnungsfaktor und schreiben die Ergebnisse in die Klammer.

Wir wollen nun das x², also den Exponenten, vom x wegbekommen.

Rufe dir dazu die binomischen Formeln in Erinnerung:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²

Wenn wir also den Inhalt in der Klammer so umformen, dass wir die zwei Quadrate (a² und b²) und das Mittelglied (2ab) haben, können wir das gemäß der binomischen Formel zusammenfassen.

Das erste Quadrat wissen wir:

Das zweite Quadrat kennen wir nicht - was wir aber kennen, ist das Mittelglied, nämlich 6x.

Und diese 6x sollen jetzt das doppelte (2ab) Produkt der beiden Klammernglieder sein.

Das erste Klammernglied ist x, das zweite nennen wir einfach mal k.

Somit wissen wir, dass 2x*k = 6x.

Womit musst du nun die 2x multiplizieren, um 6x zu erhalten? Mit 3.

Somit ist das zweite Klammernglied 3.

Nochmal, was wir bisher haben:

f(x) = 2(x² - 6x) + 3

Wir wollten ja in der Klammer einen Term der Form a² - 2ab + b² haben.

 ist , -2ab ist -6x, das haben wir.

Jetzt  fehlt noch , also das zweite Quadrat. Wir haben das zweite Klammernglied ja vorhin ausgerechnet, nämlich 3.

Also quadrieren wir es: 3² = 9

Wir können es aber nicht einfach dazuzählen, denn dann würden wir ja den Wert des (Funktions-)Terms verändern.

Also müssen wir es auch wieder abziehen:

f(x) = 2(x² - 6x + 3² - 3²) + 3

Jetzt fasst du die ersten drei Teile zu einer binomischen Formel zusammen, denn das sind ja (x - 3)², wie wir vorher gesehen haben:

f(x) = 2((x - 3)² - 3²) + 3

Vergiss dabei die Klammern nicht!

Und jetzt multiplizieren wir noch aus:

f(x) = 2((x - 3)² - 3²) + 3
       = 2(x - 3)² + 2 * (-3²) + 3

Und noch zusammenfassen:

f(x) = 2(x - 3)² + 2*(-3²) + 3       = 2(x - 3)² + 2*(-9) + 3
       = 2(x - 3)² - 18 + 3
       = 2(x - 3)² - 15

Und das war's schon. Hier haben wir die Scheitelform.

Davon können wir auch einfach den Scheitelpunkt ablesen, er liegt nämlich bei (d | e), also hier bei (3 | -15).

2. Nullstellen berechnen

Das ist auch wirklich kein Drama.

Nehmen wir wieder ein Beispiel.

Du hast die Funktion f(x) = 2x² + 4x - 30, von der du die Nullstellen berechnen sollst.

Dazu setzt du f(x) = 0:

0 = 2x² + 4x - 30

Du hast nun entweder die abc- oder die pq-Formel gelernt.

Für die abc-Formel: f(x) = ax² + bx + c
Für die pq-Formel: f(x) = x² + px + q

Bei der abc-Formel setzt du einfach die drei Koeffizienten (also a, b und c bzw. hier 2, 4 und -30) ein und lässt dir das Ergebnis vom Taschenrechner berechnen.

Bei der pq-Formel musst du die Funktion zuerst normieren, das bedeutet, dass du den Öffnungsfaktor, also die Zahl vor x entfernen musst. Dazu teilst du einfach die gesamte Gleichung durch den Vorfaktor.

Hier würden wir also durch 2 teilen:

0 = 2x² + 4x - 30       | :2
0 = x² + 2x - 15

Und dann kannst du jetzt auch einfach die beiden restlichen Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen, hier ist p = 2 und q = -15.

Wenn du eine der beiden Lösungsformeln verwendest, erhältst du für x die beiden Lösungen -5 und 3.

Es kann aber auch vorkommen, dass es für die quadratische Gleichung keine oder nur eine Lösung gibt.

Wenn es keine Lösung gibt, wird der Term unter der Wurzel null, wenn es eine Lösung gibt, wird er negativ und da du aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen kannst (ein Quadrat ist immer positiv), gibt es da dann keine Lösung.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast oder einen Schritt nicht ganz verstehst, dann scheue dich nicht, zu kommentieren! :)

LG Willibergi

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die allgemeine quadratische Funktionsgleichung sieht so aus: f(x)=ax²+bx+c

Sollst Du hieraus die Nullstellen berechnen, musst Du f(x)=0 ausrechnen, also ax²+bx+c=0.

Entweder benutzt Du hierzu die abc-Formel (auch Mitternachsformel genannt), indem Du einfach a, b und c in diese Formel einsetzt. Möchtest/kannst/darfst Du die pq-Formel nutzen, dann teile vor dem Einsetzen erst noch durch a. Somit erhälst Du die Form 1x²+px+q=0.

Die Scheitelpunktform einer Parabel sieht so aus f(x)=a(x-d)²+e. Der Scheitelpunkt ist dann S(d|e). Um hieraus die allgemeine Form zu machen, musst Du die quadratische Klammer mit Hilfe der binomischen Formel ausrechnen, dann auflösen, indem Du jeden Wert mit dem a davor multiplizierst. Abschließend noch den Zahlenwert der Klammer (=a*d²) mit e addieren.

Um von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform zu kommen, musst du die quadratische Ergänzung anwenden. Dazu klammerst Du zuerst den Wert vor dem x² aus. Anschließend halbierst und quadrierst Du den Wert vor dem x und addierst und subtrahierst diesen Wert gleichzeit hinter dem x. Das x², das x und der addierte Wert bilden die 1. oder 2. binomische Form. Die subtrahierte Zahl musst Du noch ausklammern und mit dem anderen übriggebliebenen Wert zusammenfassen.

Viele Worte; hier ein Beispiel mit konkreten Zahlen zur quadr. Ergänzung:

f(x)=2x²+6x-7       |zuerst den Wert vor dem x² ausklammern
f(x)=2(x²+3x-3,5)  |die hintere Zahl kannst Du auch als -7 hinter der Klammer
                              lassen. Jetzt die 3 halbieren und quadrieren, ergibt 2,25.
                             Diesen Wert jetzt addieren und subtrahieren.
f(x)=2(x²+3x+2,25-2,25-3,5) |das Fette ist die quadr. Ergänzung; die ersten
                                              drei Summanden ergeben den 1. Binom)
f(x)=2((x+1,5)²-5,75)            |jetzt die -5,75 noch ausklammern
f(x)=2(x+1,5)²-11,5

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Für die nullstellen musst du die Funktion gleich null setzen.

->f(x)=0   z.B. 0=x^2+3x+4   -> in dem beispiel musst du die pq formel anwenden (tutorials auf youtube)

es gibt noch weitere Lösungsmöglichkeiten z.B. Ausmultiplizieren, Substitution, Polynomdivision

Für die Umformung von der Normalform in die Scheitelpunktform, brauchst du die Quadratische Ergänzung. (guck mal im internet unter quadratischer Ergänzung)

und von der scheitelpunktform in die normalform einfach ausmultiplizieren, glaub ich.

Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen.  

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Eyleen2000
24.10.2016, 14:29

Danke konntest mir ein wenig helfen :)

0

alles kann ich hier nicht abtippen. Die vollständige Behandlung der "Quadratischen Funktion" (Manuskript)verkaufe ich privat für 10 Euro.

Normalform ist 0=x^2 + p*x+q Nullstellenermittlung mit der p-q-Formel ,siehe Mathe-Formelbuch 

allgemeine Form y=f(x)=a2*x^2+a1*x+ao

Scheitelkoordinaten bei xs= - (a1)/(2*a2) und ys= - (a1)^2/(4 *a2) +ao

Scheitelpunktforn y=f(x)= a2 * (x - xs)^2 + ys

Scheitelpunktform y=f(x)= a2 *(x+b)^2 + ys

binomische Formeln anwenden :ergibt die "allgemeine Form"

(x+b)^2=x^2 + 2 *b * x +b^2 oder

(x-b)^2=x^2 - 2*b *x+b^2

a2>0 Parabel nach oben offen, Minimum vorhanden

a2<0 nach unten offen , Maximum vorhanden

ys>0 Verschiebt die Parabel nach oben

ys<0 verschiebt nach unten

"gemischtquadratische Form mit q=0

0=x^2 +p *x Nullstellen bei x1=0 und x2= - p

siehe auch "Lösbarkeitsregeln" im Mathe-Formelbuch.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Wenn dir, wie du schreibst, ein wenig geholfen werden konnnte, wie wäre es, wenn du jetzt mal dein praktisches Bespiel einer Funktion 2. Grades aufschreibst? Dann zeige ich dir genau den Rechenweg und kann dir auch erzählen, wo du mit Ausnahmen rechnen kannst.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?