Wie berechne ich in diesem Fall den Winkel zwischen 2 Vektoren im R3?

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4 Antworten

Hallo,

Du hast zwei Vektoren a und b in R³.

Ausgeschrieben bedeutet dies: Vektor a: (x1/x2/x3); Vektor b: (y1/y2/y3)

Das Skalarprodukt von (3a+b) und (a-2b) soll Null sein.

Also gilt:

(3x1+y1/3x2+y2/3x3+y3)·(x1-2y1/x2-2y2/x3-2y3)=0

Ausmultipliziert:

  3x²1-5x1y1-2y²1
+3x²2-5x2y2-2y²2
+3x²3-5x3y3-2y²3=0

Wir kennen die Beträge der Vektoren a und b.

Das bedeutet: x²1+x²2+x²3=9 (denn die Wurzel aus dieser Summe ist der Betrag des Vektors, also 3 und 3²=9)

Ebenso ist dann y²1+y²2+y²3=4, nämlich 2²

Dann ist die Summe in der ersten Spalte der Matrix 3*9=27, die Summe in der dritten Spalte ist (-2)*4=-8

Da 27-8=21, muß die mittlere Spalte also -21 ergeben, damit das ganze Null wird:

-5x1y1-5x2y2-5x3y3=-21

5*(x1y1+x2y2+x3y3)=21

x1y1+x2y2+x3y3=21/5 

Nun ist aber x1y1+x2y2+x3y3 nichts anderes als a·b

Da der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren der Quotient aus 
a·b und |a|*|b| ist und a·b=21/5 sowie |a|*|b|=3*2=6 ist, haben wir den Kosinus berechnet:

21/5 geteilt durch 6 gleich 21/30=7/10 oder 0,7

Diesem Kosinus entspricht ein Winkel von 45,57°

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
19.11.2016, 01:42

Auweia, ein blöder Rechenfehler:

27-8=19, nicht 21

also 19/30 ist der Kosinus, der Winkel demnach 50,7035°

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Hallo,

du brauchst die Koordinaten der Vektoren nicht zu kennen, aus der Gleichung kannst du <a;b> als Funktion von ||a|| und ||b|| berechnen:

<(3a+b), (a-2b)> = 0 <=> 3<a;a> + <b;a> - 6<a;b> -2<b;b> = 0

<=> 3||a||² -5<a;b> - 2||b||² = 0  (weil <a;b>=<b;a>)  <=>

5<a;b> = 3||a||² - 2||b||² = 3·3² - 2·2² = 27-8 = 19   und damit

<a;b> = 19/5 ;

cos(a;b) = <a;b>/(||a|| ||b||) = (19/5)/(3·2) = 19/30 , also

∠(a;b) = cos⁻¹(19/30) ≈ 50,7°

Gruss


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<(3a+b), (a-2b)> = 3*<a, a - 2b> + < b, a - 2b>

= 3*( <a, a> - 2*<a, b>) + <b ,a> - 2<b,b>

= 3||a||  - 5*<b,a> - 2||b|| = 0

Den Rest schaffst du dann schon selber.

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Du benutzt die Tatsache, dass das Skalarprodukt bilinear ist, du kannst es also einfach ausmultiplizieren.

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Kommentar von huntr645
19.11.2016, 00:37

bilinear sagt mir noch nicht wirklich was, bin gerade 1 Monat im offiziellen Studium, sorry. Ich frag mich halt nur "WIE?" ohne Zahlen.. Mit Zahlen wärs ja kein Problem für mich... Ist es am Ende 0/ wurzel6 ? Und damit Phi  = 90 und Kosinus = 0 oder ist das falsch?

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