Wie berechne ich folgende definierte Funktion(Abschnittsweise)?

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2 Antworten

Da ist kein Foto und ich wüsste gerne, mit was für einer Funktion du die Funktion ergänzen willst. Da du was von a, b, c, d schreibst, gehe ich mal von eine kubischen Funktion aus.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Für eine knickfreie Funktion muss gelten:
f(0) = g(0)     bzw.     f(4) = h(4)
f'(0) = g'(0)    bzw.    f'(4) = h'(4)
g(x) = -0,5x+1
g(0) = 1

g'(x) = -0,5
g'(0) = -0,5

h(x) = x²-10x+21
h(4) = 16-40+21 = -3

h'(x) = 2x-10
h'(4) = -2

Jetzt zur zu bestimmenden Funktion:
f(0) = d = 1
f'(0) = c = -0,5

f(4) = 64a + 16b + 4c + d
      = 64a + 16b - 2 + 1
      = 64a + 16b - 1

f(4) = h(4)
64a + 16b - 1 = -3     |+1
64a + 16b = -2          |:2
32a + 8b = -1            |-32a
8b = -32a -1

f'(4) = 48a + 8b + c
       = 48a + 8b - 0,5

f(4) = h(4)
48a + 8b - 0,5 = -2     |+0,5
48a + 8b = -1,5          |(8b = -32a -1) einsetzen
48a -32a -1 = -1,5      |+1
16a = 0,5                    |:16
a = 1/32

8b = -32a -1               |(a = 1/32) einsetzen
8b = -1 -1
8b = -2                       |:8
b = -1/4

Damit lautet die gesuchte Funktion:
f(x) = 1/32x³ - 1/4x² - 1/2x + 1

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stekum 26.10.2015, 03:14

Es ist eine Schande, dass Du für diese Leistung vom Fragesteller kein 'Danke' usw. bekommen hast (dafür aber von mir).

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Myrine 26.10.2015, 12:11

Ja ja, immer diese Flüchtigkeitsfehler:

48a -32a -1 = -1,5       |+1
16a = -0,5                    |:16
a = -1/32

8b = 32a -1               |(a = -1/32) einsetzen
8b = 1 -1
8b = 0                       |:8
b = 0

Damit lautet die gesuchte Funktion:
f(x) = -1/32x³ - 1/2x + 1

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Auch ich wollte unserer neuen Studentin gerade beglückwünschen...,

stellte bei der grafischen Kontrolle per Universal Diagramm

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

dann aber Knicke in der Kurve und Sprünge in der Ableitung (blau gestrichelt) fest Bild1

also genauer:

f'(4) = 48a + 8b + c noch OK

f'(4) = h'(4)

48*a+8*b-1/2=-2

...

48a -32a -1 = -1,5 |+1

48a -32a =-0.5 | hier war leider Vorzeichen falsch

16*a = -0.5

a=-0.5/16=-1/32

8*b=-32*(-1/32)-1

8b=1-1=0

b=0 -> Bild 2 nun ohne Knicke und ohne Ableitungssprünge.

Ein Danke für die Fleißarbeit und die richtige Herangehensweise hat Myrine aber verdient!

Universal Diagramm zeigt Sprung in Ableitung  - (Mathe, Funktion) Universal Diagramm abschnittsweise und Ableitung - (Mathe, Funktion)
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