Wie berechne ich diesen komplexen Bruch?

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8 Antworten

Hallo,

Du kannst die einzelnen Brüche so verändern, daß das i aus den Nennern verschwindet. Das geht auch in der Differenz, weil Du ja jeden Bruch für sich bearbeitest. Du nutzt dazu die dritte binomische Formel (a+b)*(a-b)=a²-b².

Den ersten Bruch erweiterst Du also mit (2-3i)/(2-3i)

Dann bekommst Du [(1-i)*(2-3i)]/[(2+3i)*(2-3i)]

Der Nenner lautet dann 4+9, denn i²=-1, also 13.

So machst Du es auch mit dem zweiten Bruch, der mit (1-i)/(1-i) erweitert wird.

Der Nenner ist dann (1+i)*(1-i)=1+1=2

Nun noch die Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen, dann steht auf der linken Seite der Gleichung:

[(1-i)*(2-3i)]/13-[(6+2i)*(1-i)]/2

Ausmulitpliziert:

(-1/13)-(5/13)i-(6-4i+2)/2=(-1/13)-(5/13)-(8-4i)/2=(-1/13)-(5/13)i-4+2i=

-53/13+(21/13)i

Nun die rechte Seite:

(3-i)/(3+i)=(3-i)²/[(3-i)*(3+i)]=(9-6i-1)/(9+1)=(8-6i)/10=4/5-(3/5)i

Nun mußt Du noch 4/5-(3/5)i durch -53/13+(21/13)i teilen, um z herauszubekommen.

Dazu kannst Du den Bruch wieder mit [-53/13-(21/13)i]/[-53/13-(21/13)i] erweitern, um das i aus dem Nenner zu bekommen. 

Am Ende bekommst Du für z=-11/50+(3/50)i oder -0,22+0,06i heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

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Ich würde erst einmal die komplexen Zahlen zusammenfassen.

Da die äußerste Operation auf beiden Seiten eine Multiplikation/Division ist, bietet sich für die Zahl auf der rechten Seite eine Polardarstellung an, aber es ist vermutlich einfacher, generell mit kartesischen Koordinaten zu rechnen.

Die größte Schwierigkeit scheint der Vorfaktor von z zu sein. Ich habe hier eine Differenz. Jedes der Elemente der Differenz ist ein Bruch. Diese Brüche rechne ich wie üblich in kartesischen Koordinaten aus:

Zunächst der erste Bruch (1-i) / (2+3i):

(1-i) / (2+3i) = (1-i) (2-3i) / ( (2+3i) (2-3i) )        | Erweitern mit dem komplex konjugierten des Nenners

  = (2 - 3 i - 2 i + 3 i²) / (4 + 9) = (-1 - 5 i) / 13 = -1/13  - 5/13 i

Ebenso: (6+2i) / (1+i) = 4 - 2 i

Differenz: -53/13 + 21/13 i

Wenn wir auch die rechte Seite ausgerechnet haben, haben wir:

(-53/13 + 21/13 i ) * z = (4/5 - 3/5 i)

Weiter können wir wie üblich durch den linken Faktor teilen:

z = (4/5 - 3/5 i) / (-53/13 + 21/13 i)

  = (4/5 - 3/5 i) (-53/13 - 21/13 i) / ( (-53/13 + 21/13 i) (-53/13 - 21/13 i) )

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Hier mal eine Übersicht über die einfachsten Rechenregeln für komplexe Zahlen -->

Addition -->

(a + b * i) + (c + d * i) = u + v * i

mit

u = a + c

v = b + d

Subtraktion -->

(a + b * i) - (c + d * i) = u + v * i

u = a - c

v = b - d

Multiplikation -->

(a + b * i) * (c + d * i) = u + v * i

mit

u = a * c - b * d

v = a * d + b * c

Division -->

(a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

mit

k = c ^ 2 + d ^ 2

u = (a * c + b * d) / k

v = (b * c - a * d) / k

----------------------------------------------------------------------------------------------------

( (1-i) / (2+3i) - (6+2i) / (1+i) ) * z = (3-i) / (3+i)

Nebenrechnung für (1-i) / (2+3i) -->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 1 und b = -1 und c = 2 und d = 3

k = c ^ 2 + d ^ 2 = 2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 13

u = (a * c + b * d) / k = (1 * 2 - 1 * 3) / 13 = -1 / 13

v = (b * c - a * d) / k = (-1 * 2 - 1 * 3) / 13 = - 5 / 13

(1 - i) / (2 + 3 * i) = - (1 / 13) - (5 / 13) * i

Nebenrechnung für (6+2i) / (1+i) -->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 6 und b = 2 und c = 1 und d = 1

k = c ^ 2 + d ^ 2 = 1 ^ 2 + 1 ^ 2 = 2

u = (a * c + b * d) / k = (6 * 1 + 2 * 1) / 2 = 4

v = (b * c - a * d) / k = (2 * 1 - 6 * 1) / 2 = -2

(6 + 2 * i) / (1 + i) = 4 - 2 * i

Nebenrechnung für (3-i) / (3+i)-->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 3 und b = -1 und c = 3 und d = 1

k = c ^ 2 + d ^ 2 = 3 ^ 2 + 1 ^ 2 = 10

u = (a * c + b * d) / k = (3 * 3 - 1 * 1) / 10 = 8 / 10 = 4 / 5

v = (b * c - a * d) / k = (-1 * 3 - 3 * 1) / 10 = - 6 / 10 = -3 / 5

(3 - i) / (3 + i) = (4 / 5) - (3 / 5) * i

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Aus ( (1-i) / (2+3i) - (6+2i) / (1+i) ) * z = (3-i) / (3+i)

wird dann -->

 - (1 / 13) - (5 / 13) * i - ( 4 - 2 * i) ) * z = (4 / 5) - (3 / 5) * i

Das lässt sich noch weiter vereinfachen -->

- (1 / 13) - (5 / 13) * i - ( 4 - 2 * i) = - (1 / 13) - (5 / 13) * i - 4 + 2 * i

Zur Erinnerung --> (a + b * i) + (c + d * i) = u + v * i

a = - (1 / 13) und b = - (5 / 13)  und c = -4 und d = 2

u = a + c = - (1 / 13) - 4 = - (1 / 13) - 52 / 13 = - 53 / 13

v = b + d = - (5 / 13) + 2 = - (5 / 13) + 26 / 13 = 21 / 13

- (1 / 13) - (5 / 13) * i - 4 + 2 * i = - 53 / 13 + 21 / 13 * i

Damit erhalten wir -->

(- 53 / 13 + 21 / 13 * i) * z = (4 / 5) - (3 / 5) * i | : (- 53 / 13 + 21 / 13 * i)

Man muss also ((4 / 5) - (3 / 5) * i) / (- 53 / 13 + 21 / 13 * i) berechnen -->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 4 / 5 und b = - 3 / 5 und c = -53 / 13 und d = 21 / 13

k = c ^ 2 + d ^ 2 = (-53 / 13) ^ 2 + (21 / 13) ^ 2 = 250 / 13

u = (a * c + b * d) / k = (4 / 5 * - 53 / 13 - 3 / 5 * 21 / 13) / (250 / 13) = - 11 / 50

v = (b * c - a * d) / k = (-3 / 5 * - 53 / 13 - 4 / 5  * 21 / 13) / (250 / 13) = 3 / 50

z = - (11 / 50) + (3 / 50) * i

Das ist dein Endergebnis !!

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Anmerkung :

Anhand des Umfangs der Berechnungen kannst du selber sehen, dass es besser ist diese Formeln dem programmierbaren Taschenrechner zu überlassen oder sich ein kleines Computerprogramm zu schreiben.

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whatsupper 05.02.2016, 17:54

Erstmal großen Dank für die so ausführliche Erklärung! Zu Ihrer Anmerkung, leider ist ein TR in der Klausur nicht zugelassen 

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Also wichtig ist, alle Brüche wegzubekommen, dann löst es sich von selber. Also zuerst mit (3+i), (2+3i) und (1+i) multiplizieren, dann bekommst du sowas wie

((1-i)*(1+i) - (6+2i) * (2+3i)) * z * (3+i) = (3-i)* (2+3i) * (1+i)

Dann kommt irgendeine Gleichung raus mit z = (a+bi) / (c+di) und das sollte dann leicht sein.

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UlrichNagel 05.02.2016, 14:14

Soweit richtig, denn Hauptnenner links nach rechts multiplizieren, aber den Nenner rechts hast du nur im 2. Glied und nicht im 1. Glied multipliziert!

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whatsupper 05.02.2016, 15:14

Danke! Ich habe es wie Sie gesagt haben gemacht.

Meine Lösung ist -0,21 + 0,04i.

Lösung im Skript ist -11/50 + 3/50, also -0,22 + 0,06

Sehen die Korrekter (oder wie man die auch nennt) das eng oder hab ich da einen einfachen rundungsfehler?

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Willy1729 05.02.2016, 16:04
@whatsupper

Das ist schon mehr als ein Rundungsfehler. Ich fürchte, es wird als falsche Antwort gewertet.

0

Ich versuch's mal andersrum und trenne nicht erst Real- und Imaginärteil, sondern fasse die Differenz zusammen, um durch sie zu teilen:

    ( (1–i) / (2+3i) – (6+2i) / (1+i) )·z = (3–i) / (3+i)
Differenz auf 1 Nenner:

⇔ ( {(1–i)(1+i)–(2+3i)(6+2i)} / (2+3i)(1+i) )·z = (3–i) / (3+i)
Ausmultiplizieren:

⇔ ( (–4–22i) / (–1+5i) )·z = (3–i) / (3+i)

Dividieren durch den Vorfaktor und Kürzen:

⇔ z = (3–i)(–1+5i) / (3+i)(–4–22i) = (2+16i) / (10–70i) = (1+8i) / (5–35i)

Jetzt erst mit dem Nenner des Komplex Konjugierten erweitern:

    z = (1+8i)(5+35i) / (1250) = (–275+75i) /(1250)
       = (–11+3i) / 50

Ich komme auf dasselbe Ergebnis wie Ihr.

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( (1-i) / (2+3i) - (6+2i) / (1+i) ) ∙ z = (3-i) / (3+i)


erweitern der Brüche mit (2-3i); (1-i) bzw. (3-i)
( ((1- i) ∙ (2 -3i) / 13)   -  ((6 + 2i) ∙ (1 -i) / 2)  ) ∙ z = ((3 -i)² /10)

ausmultiplizieren der 3 Brüche
((-1- 5i)/13 – (8 - 4i)/2) ∙ z = (8 - 6i)/10

linke Seite auf Hauptnenner 26
((-2 -8 ∙ 13) + (-10 + 4 ∙ 13)i )/26 ∙ z = (8 -6i)/10

Umstellen nach z und durch 2 teilen
z = 26 ∙ (8 -6i) / (10 ∙ (-106 +42i))
z = (8 -6i) / (-53 +21i) ∙ 26/20

erweitern des Bruches mit (-53 -21i)
z = (8 -6i) ∙ (-53 -21i) / (53² +21²) ∙ 26/20
z = (-8 ∙ 53 -6 ∙ 21 + (6 ∙ 53 -8 ∙ 21)i ) ∙ 26 / (20 ∙ (53²+21²))

ausrechnen
z = (-550 + 150i) / 2500
z = -11/50 + 3/50i


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Was soll rauskomen? Ich hab 0,208 + 0,08i (unverbindlich...)

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whatsupper 05.02.2016, 15:14

es soll -11/50 + 3/50, also -0,22 + 0,06 rauskommen.

Wie hast du es gelöst? wie oben der Herr?

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Du kannst die Formel hier eingeben.

http://www.wolframalpha.com/

Die Seite rechnet das dann für dich aus.

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