Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit von diesem Zufallsexperiment?

... komplette Frage anzeigen

5 Antworten

Hallo,

am besten berechnest Du das über eine Bernoullikette:

0,6^4*0,4^4*(8 über 4)=0,2322 oder 23,22 %.

0,6 ist die Wahrscheinlichkeit für eine blaue, 0,4 für eine rote Kugel.

Wenn Du aber einfach nur 0,6^4*0,4^4 rechnest, hättest Du nur die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die ersten vier Kugeln blau, die restlichen rot sind. Du mußt aber alle Reihenfolgen berücksichtigen, in den rote und blaue Kugeln gezogen werden, deshalb 8 über 4=70; es gibt nämlich 70 Möglichkeiten, wie sich vier blaue Kugeln unter acht Kugeln verteilen können.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von FelixNeumayer
14.03.2016, 17:07

Vielen Dank für die Antwort, aber was meinst du mit "über"?

0

Wie viele Möglichkeiten gibt es denn erstmal, genauso viele rote wie blaue Kugeln zu ziehen, wenn du acht mal ziehst?

Die Zugreihenfolge ist hierbei egal, es ist ganz leicht, wenn man es einmal durchschaut hat.

Also wenn du 8 Kugeln insgesamt ziehst, und du von jeder Farbe die selbe Anzahl ziehst, hast du logischerweise 8/2 = 4 Kugeln von jeder Farbe.

Insgesamt hast du 10 Kugeln in deiner Urne, denn es sind ja 6 blaue und 4 rote Kugeln.
Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen bei 4/10 = 2/5 = 0,4 und die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen bei 6/10 = 3/5 = 0,6.
Du willst wir mal eine rote Kugel ziehen und vier mal eine blaue.
Für den ersten Zug haben wir ja die Wahrscheinlichkeit grade benannt.
Jetzt kommt der zweite Zug.
Die Reihenfolge der Farben die wir ziehen ist ja egal, Hauptsache wir haben am Ende 4 rote und 4 blaue Kugeln gezogen.
Sagen wir jetzt mal, dass wir zuerst alle roten Kugeln ziehen und danach alle blauen.
Für die erste rote Kugel ist die Wahrscheinlichkeit 0,4. Dann wollen wir wieder eine rote Kugel ziehen, und jetzt ist die Wahrscheinlichkeit zwar für den Zug als solchen wieder 0,4 , aber für das "Muster" rot/rot ist die Wahrscheinlichkeit jetzt 0,4² = 0,16
Jetzt soll die dritte Kugel auch wieder rot sein.
Nun haben wir das Muster rot/rot/rot und das erhält man nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4³ = 0,064.
Wenn man jetzt noch die vierte rote Kugel ziehen will, haben wir das Muster rot/rot/rot/rot und dabei ist die Wahrscheinlichkeit 0,4^4 = 0,0256
Jetzt kommen noch die blauen Kugeln ins Spiel.
Zu den 4 roten Kugeln in unserem Muster kommt jetzt noch eine blaue Kugel hinzu. Das Muster ist rot/rot/rot/rot/blau.
Dafür die Wahrscheinlichkeit ist 0,4^4 * 0,6 = 0,01536
Jetzt kommen noch die 2. 3. und 4. blaue Kugel hinzu.
Muster mit 2 blauen Kugeln: rot/rot/rot/rot/blau/blau
    Wahrscheinlichkeit: 0,4^4 * 0,6² = 0,009216

Muster mit 3 blauen Kugeln: rot/rot/rot/rot/blau/blau/blau
    Wahrscheinlichkeit: 0,4^4 * 0,6³ = 0,0055296

Muster mit 4 blauen Kugeln: rot/rot/rot/rot/blau/blau/blau/blau
    Wahrscheinlichkeit: 0,4^4 * 0,6^4 = 0,00331776

Jetzt kann man noch kurz begründen, warum die Reihenfolge egal ist und die Wahrscheinlichkeit nur davon abhängt, wie viele Kugeln man von welcher Farbe ziehen möchte:
0,4^4 * 0,6^4 = 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,6 * 0,6
Jetzt kann man ja die Faktoren vertauschen wie man will, das Ergebnis ist stets das selbe.
Somit ist gezeigt, dass es nur darauf ankommt, aus wie vielen roten und blauen Kugeln unser Muster besteht.

Allgemeine Definition:
Wenn man mit unseren Kugeln ein Muster aus n roten und k blauen Kugeln ziehen will, liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0,4^n * 0,6^k.
(Aber das geht nur, wenn die Kugel nach dem Zug wieder zurückgelegt wird, denn sonst verkleinert sich ja nach jedem Zug die Anzahl der Kugeln um 1.)

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)

JTR

Kommentar von Willy1729
14.03.2016, 17:44

Wenn Deine Rechnung richtig wäre, müßte die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von keiner blauen Kugel bis zu acht blauen Kugeln nach achtmaligem Ziehen genau 1 ergeben, denn mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Du kommst aber nur auf eine Summe von 0,049. Mit Deiner Methode berechnest Du nur die Wahrscheinlichkeit für eine einzige 4 rot - 4 blau-Verteilung.

Natürlich kannst Du die Faktoren vertauschen, auf 70 unterschiedliche Arten. Du mußt die Wahrscheinlichkeiten für jede dieser 70 Möglichkeiten addieren, also 0,6^4*0,4^4*(8 über 4) rechnen, um auf das korrekte Ergebnis zu kommen.

Herzliche Grüße,

Willy

0

Am besten zeichnest du dir ein baumdiagramm und überlegst dir wie viele Möglichkeiten es gibt, dass das Experiment anders ausgeht

Kommentar von FelixNeumayer
14.03.2016, 16:41

Das mit dem Baumdiagramm kann ich vergessen, es gibt mindestens über 5000 Möglichkeiten. :/

1

Hey, diese Aufgabe gehört zur Wahrscheinlichkeitsrechnung undzwar zum mehrmaligen Ziehen mit zurücklegen. Die Rechnung ist also:

6 über 4 x 4 über 4 : 10 über 8.

(Sry, dass ich es so aufschreiben musste)

Das Ergebnis ist: 1/3 =33, Periode 3%

Ich hoffe, ich könnte dir helfen und falls du das nochmal genauer erklärt bekommen willst, schreib es einfach in die Kommentare.

Kommentar von FelixNeumayer
14.03.2016, 16:52

Was meinst du denn mit "über"? Und sind es dann nicht 33%?

0
Kommentar von Willy1729
14.03.2016, 17:05

So müßtest Du rechnen, wenn die Kugeln nicht nach jeder Ziehung zurückgelegt würden.

0

Was möchtest Du wissen?