Wie berechne ich die Parabeln an einer Gerade als Tangente?

...komplette Frage anzeigen

1 Antwort

Nach auswendig gelerntem Vorgehen bei allgemeinen Funktionen würde man z. B so vorgehen, dass man die Schnittpunkte f_a(x) mit g(x) berechnet:

x² + 4 a x + 8 a² - 1 = -1/2 x + 2

und dann nachsieht, welche dieser Schnittpunkte auch Berührungspunkte sind.

Eine andere Möglichkeit ist, auszurechnen, an welcher Stelle f_a(x) eine Tangente mit der Steigung -1/2 hat und nachzusehen, für welche a die Tangente gerade mit g zusammenfällt.

Die Parabel ist aber eine Funktion 2. Grades. In diesem Spezialfall sind die Tangenten gerade diejenigen Geraden, für die die Schnittpunktgleichung eine Diskriminante von genau 0 hat. (Wenn in einer quadratischen Gleichung die Diskriminante 0 ist, haben wir nur eine einzige Lösung - eine sogenannte "doppelte" Lösung.)

Hier nehmen wir uns die Schnittpunktgleichung von oben wieder vor:

x² + 4 a x + 8 a² - 1 = -1/2 x + 2

Alles auf eine Seite bringen:

x² + (4 a + 1/2) x + 8 a² -3 = 0

Für die allgemeine quadratische Gleichung

a x² + b x + c = 0

ist die Diskriminante

D = b² - 4 a c

Um mit der Bezeichnung a nicht durcheinander zu kommen, bennennen wir die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung um zu p, q, r:

p x² + q x + r = 0

D = q² - 4 p r

Für die obige Gleichung bedeutet das

p = 1, q = (4 a + 1/2), r = (8 a² - 3)

D = (4 a + 1/2)² - 4 * 1 * (8 a² - 3)

Dass die Diskriminante 0 sein soll, bedeutet:

(4 a + 1/2)² - 4 * 1 * (8 a² - 3) = 0

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen nach Potenzen von a:

-16 a² + 4 a + 49/4 = 0

Mit den Lösungen (z. B. Mitternachtsformel)

a1 = 1/8 (1 + 5 √2)

a2 = 1/8 (1 - 5 √2)

Diese Werte für a müssen noch in die Gleichung für f_a(x) eingesetzt werden.

Was möchtest Du wissen?