Wie berechne ich die Nullstellen einer ganzrationaler Funktion?

1 Antwort

Die Substitution ist eigentlich ziemlich einfach.

Du wendest sie an, wenn du z.B. folgende Gleichung vor dir hast:

x⁴ + 2x² - 3 = 0

Hier kannst du nicht ausklammern, nicht die pq- oder abc-Formel anwenden, kein direktes Wurzelziehen tätigen noch die quadratische Ergänzung anwenden. Hier muss substituiert werden.

Dabei gilt dann:

z = x²

Das heißt für dich: Aus x⁴ wird z². Aus x² wird z. 

z² + 2z - 3 = 0

Jetzt kannst du die pq- oder abc-Formel einfach anwenden, wie du es kennst. Das ist aber natürlich nicht zwingend. Es kann auch gut sein, dass du bei einer Gleichung dann ausklammern musst. Behandle es nun wie sonst auch und berechne wie du es kennst die Nullstellen. Hier nutzen wir nun wie gesagt die pq- bzw. abc-Formel.

Du bekommst dann folgende Nullstellen:

z1 = 1

z2 = -3

Jetzt musst du die Resubstitution machen. Also wird aus z = x² nun die Wurzel aus den Lösungen. Es gilt nun also:

x = √z

x1/2 = ±√1

x1 = 1

x2 = -1

Die Wurzel aus -3 können wir in den reellen Zahlen nicht ziehen. Also bleiben diese beiden Ergebnisse.

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

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