wie berechne ich die nullstellen der Funktion ln(2x+3)+(Zähler:)2x/(Nenner:)2x+3?

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4 Antworten

                                   2x
f(x) = ln(2x + 3) + —
                                2x + 3

Hier ist es so, dass du auch durch gewiefte Äquivalenzumformungen auf keine analytische Lösung kommst - dir bleibt hier nur eine numerische Lösung mittels Newton- oder anderen Näherungsverfahren.

Professionell löst man eine solche Gleichung mit der lambertschen W-Funktion, da kommt dann folgende Lösung heraus:

x = 1/2 * (e^(W(3e) - 1) - 3)

Aber da die meisten Taschenrechner diese Funktion ohnehin nicht kennen und sie in der Schule leider nicht behandelt wird, ist ein für dich Näherungsverfahren wie gesagt am sinnvollsten. ;)

LG Willibergi

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  Zugegeben - ich habe bei Wolfram gespickt. Ich bin ja nun ===> Lycosianer der ersten Stunde ( und 4 711 Mal deaktiviert. )  Ein Lycos Administrator schrieb  mir mal ( " PN " = persönliche Nachricht )

   " Unsere Aufgabe ist nicht der technische Support, wie Manche vermeinen. Unsere einzige Aufgabe besteht darin, pro Tag möglichst viele Accounts platt zu machen. "

   In dieser Umgebung trainierte ich mich zum Matematiker von Hochform. Da war nur einer aus Mannheim. Der war mir über  mit seiner Homepage; User " Geejay " für mein matematisches Wissen hatte der nix als sarkastische Herablassung übrig.

   Eigentlich waren Geejay und ich ein Wunder volles Team; mit dem, was ich bei ihm lernen durfte, ergänzten wir uns wunderbar. Geejay hielt sich für Unantastbar; das war sein Fehler.

   In Lycos bemessen sich die Ränge nach Potenzen von " Einstein " ; ohne Deaktivierung bis " Einstein ³ " zu klettern, ist beachtlich. Geejay nun  wurde erst nach seinem 4 711. " Stein " deaktiviert ( !!! )

   Ich danke ihm die Kenntnis der ===> Lambertschen W-Funktion; es wäre einfach unredlich, beim Zitieren einen so bedeutenden Lehrer zu übergehen. Ich schick aber  erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist. Es folgt noch ein Teil 2 mit Lösung.

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Kommentar von gilgamesch4711
01.03.2017, 15:18

  Die Konkurrenz hier ist  deutlich schärfer als bei Lycos; Williberg hat schon die Antwort. Wenn du den Umgang mit der W-Funktion erlernen möchtest. Das Internet bordet über von Übungsaufgaben mit Lösungen.

  
Die Grundidee; eine quadratische Gleichung wird gelöst durch ihre ===> quadratische Ergänzung ( QE ) , d.h. du suchst nach dem vollständigen Quadrat. Wenn du gut bist in QE ( was natürlich erwartet wird ) hast du bereits die Ideee hinter diesem W kapiert. Weil hier suchen wir immer nach dem " vollständigen W " Es wird vielleicht  dadurch etwas abwechslungsreich, dass sich - genau wie bei Brettspielen - deine Strategie der Situation anpassen muss.

   Ich setze

    z  :=  ln  (  2  x  +  3  )         (  2.1a  )

   2  x  +  3  =  exp  (  z  )       (  2.1b  )

   2  x  =  exp  (  z  )  -  3    (  2.1c  )

   Machen wir erst mal den Nenner in deiner Gleichung  weg; ich schreibe noch alles mit x

(  2  x  +  3  )  ln  (  2  x  +  3  )  =  -  2  x   ( 2.2a )

   Jetzt wird die linke Seite substituiert

 z  exp  (  z  )  =  -  2  x     (  2.2b  )

   Na das sieht doch schon ganz schnuckelig aus; auf der linken Seite haben wir bereits ein vollständiges W beisammen. Doch wir haben uns zu früh gefreut; was kommt rechts? Siehe ( 2.1c )

z  exp  (  z  )  =  3  -  exp  (  z  )   |  +  exp  (  z  )    ( 2.3a )

   Rein von der Idee her müssen wir alle e-Funktionen zusammen ziehen; und das geht nur mit dem Umformungsschritt " Plus " , wie in ( 2.3a ) angedeutet.

   (  z  +  1  )  exp  (  z  )  =  3  |   *  e     (  2.3b  )

   Abermals haben wir ein Ungleichgewicht; die " Plus 1 " , die sich in die lineare Funktion eingeschlichen hat, muss auch in den Exponenten. Das heißt also " Mal e "

(  z  +  1  )  exp  (  z  +  1  )  =  3  e   |   W    (  2.4a  )

  z  +  1  =  W  (  3  e  )  ===>  z  =  W  (  3  e  )  -  1   (  2.4b  )

   Damit haben wir die Aufgabe gelöst; alles was noch zu tun bleibt:  Umkehrabbildung ( 2.1c ) ausführen; dann landest du bei Willys Ergebnis.
 

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Du schreibst leider nicht welche Klassenstufe:

Bis Klasse 10 "Probieren" = Bisektion
Bild 1 langsam und ungenau

Ab Klasse 11: Newton Verfahren mit Ableitung:
Bild 2: nach 4 Iterationen über 12 Stellen genau

Ab Studium:
http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
§ 9 ist Dein Beispiel mit
x={e^[LambertW(e^(c/a)*c*b/a)-c/a]-b}/a,a=2,b=3,c=2
x=(e^(W(3*e)-1)-3)/2
x=-0.5727246404519369139073298279...

(siehe LINK zum Umkehrfunktionen Rechner unten)

Wenn Du mehr Nachkommastellen brauchst, melde Dich,
denn es gibt unendlich viele füe diese irrationale Zahl :-)

Und alle, die sagen, dass LambertW keine bekannte Funktion sei:

- sie ist über 100 Jahre bekannt!

Gehört zu elementaren Funktionen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

Alle guten Rechner kennen sie. Richtig gute natürlich auch mit komplexen Zahlen/Ergebnissen.

Iterationsrechner Beispiel 2: Bisektion - (Schule, Mathe, Mathematik) Iterationsrechner Beispiel 118: Newton-Verfahren - (Schule, Mathe, Mathematik)
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Wenn die Funktion (2x+3)+2x/2x+3 Lautet ist die Lösung Folgende:

Das "2x" aus dem Bruch kürzt sich raus, da es über und unter dem Brucgstrich zu finden ist. Nun hast du Folgendes Stehen:

(2x+3)+1/3=0

nun kannst du die klammer ganz einfach weglassen, da es sich um eine Plusklammer handelt un in der Rechnung keine Punkt-Rechenzeichen mehr Vorkommen:

2x+3+1/3=0

nun Rechnest du - 3 1/3 Auf beiden Seiten und hast nun Volgendes Stehen:

2x=-3 1/3

nun Teilst du 3 1/3 duch 2 und hast die Lösung:

x=0,5

Ich Hoffe, ich habe alles gut Genug erklärt

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Kommentar von xdxdxd1
01.03.2017, 14:13

das kürzt sich nicht weg, sonst in die Funktion "kaputt", ich habs ausprobiert. Und du hast das ln übersehen

ich schreibs besser um: ln(2x+3)+2x*(2x+3)^-1

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Kommentar von Willibergi
01.03.2017, 14:16

Das "2x" aus dem Bruch kürzt sich raus, da es über und unter dem Brucgstrich zu finden ist. Nun hast du Folgendes Stehen:

Au weh. 

Aus Summen kürzen nur die ...

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