Wie berechne ich die größte Steigung und das größte Gefälle einer ganzrationalen Funktion?

3 Antworten

Für das größte Gefällte musst du dann die Randstellen des Intervalls nehmen.

Vielen Dank, ich kannte das mit den Randstellen nicht

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Berechne die 3 Steigungen am Wendepunkt, bei x=0 und bei x=7 und wähle die kleinste und die größte Steigung

A. Das geht mit Mittelstufen-Mathematik:

f'(x) = 3x²/8 - 3x + 9/2,

ergibt nach Verwandlung in die Scheitelform (praktischerweise mit per Formel mit d = -b/(2a), e = c - b²/(4a) ):

f'(x) = (3/8) ( x - 4)² -3/2;

also ist f'(x) eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitel (4| -3/2). Wegen Symmetrie zu x=4 ist f'(7) = f'(1); wegen ihres Monotonieverhaltens nimmt f' in [0;7] also bei 0 den größten Wert an, nämlich

f(0) = 9/2

Das Minimum von f' bekommst du auch per Abszisse des Scheitelpunktes; die Bestimmung der höheren Ableitungen wäre nicht nötig gewesen.


B. Der Scheitel von f' ist zwar ein Wendepunkt von f (wie stets genau die Extrema der Ableitung Wendepunkte der Ausgangsfunktion sind), aber ich wüsste nicht, was das zur Fragestellung beiträgt.

Das Maximum der Steigung ist der Wendepunkt.
Das ist die Aufgabenstellung.

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@Suboptimierer

In dem Fall ist es ein Minimum, kein Maximum.

Ein Extremum der Steigung von f ist doch am einfachsten und direktesten beschrieben als eben ein Extremum von f' . Dieses Extremum kann im gegebenen Fall nach Bestimmung von f' mit einfacheren Mittel als Kurvendiskussion bestimmt werden. Auch ist der gefragte größte Wert von f' kein Extremum im Sinne der Kurvendiskussion.

Natürlich ist ein Extremum von f' ein Wendepunkt von f. Mein "Punkt" ist aber gerade, dass dieser Zusammenhang zur Lösung der Aufgabe nicht zwingend benötigt wird ( = es geht einfacher und elementarer, wenn die "eingefahreren Schienen" der Kurvendiskussion verlassen werden -> Mehr Denken = weniger rechnen).

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