Wie berechne ich die Fuktionsgleichung eines Graphen? :-)

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5 Antworten

Da 3 Punkte bekannt sind sowie noch eine Eigenschaft des dritten Punkts, kann man wohl von einer Funktion 3. Grades ausgehen. Im Grunde handelt es sich dann zunächst um vier Gleichungen mit 4 Unbekannten.

Eine solche Gleichung ist:

ax³ + bx² + cx + d = y

In diese kanst du die drei Punkte einsetzen. x und y ist ja jeweils gegeben.

Für den Tiefpunkt musst du die Funktionsgleichung ableiten und x aus dem Tiefpunkt einsetzen. y' ist Null (wegen Extremwert).

Dann hast du alle Gleichungen und kannst frählich losrechnen.

Volens 27.06.2013, 23:14

Ich finde, so viel kann man hier doch ruhig helfen. Da bleibt immer noch genug zum Rechnen übrig.

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Eine ganzrationale Funktion f (um die es hoffentlich gehen soll, sonst ist das Ganze von recht krasser Beliebigkeit), die drei vorgegebene Punkt enthält, ist mindestens zweiter Ordnung.

A. Mindestens dann, wenn f genau zweiter Ordnung ist und einen lokalen Tiefpunkt hat, ist f eine nach oben geöffnete (quadratische) Parabel mit Scheitel T(d|e) und

achsensymmetrisch zur Gerade x = d ↔ f(d -t) = f(d +t) für bel. t ∈ R. (1)

Wenn die Vermutung von Franz1957 zutrifft und du die Koordinaten des Punktes B etwas lässig angegeben sind, weist du mit (1) die Achsensymmetrie nach (und damit, dass f eine Parabel sein kann).

Von f kennst du dann bereits den Wert von d und e in der Scheitelform

y = a(x -d)² +e

und errechnest a durch Einsetzen eines Punktes (praktischerweise B).


B. Wenn die y-Koordinate von B doch so ist, wie du sie angibst, weist du mit (1) nach, dass f keine Parabel sein kann.

Also ist f dann mindestens dritter Ordnung. Dann kannst du "trickreich" (mit möglichst wenig rechnen) so weiter vorgehen:

Du bestimmst erst eine ganzrationale Funktion g dritter Ordnung, für die alle gegebenen Punkte um eine Längeneinheit nach oben verschoben sind. ↔

g hat die Form g(x) = f(x) + 1; (2)

und g enthält die Punkte A'(2|2), B'(0|0) sowie den Tiefpunkt bei T'(1|0).

Wenn eine Funktion dritte Ordnung in einem Tiefpunkt T' die x-Achse berührt, hat sie dort eine doppelte Nullstelle. (3) Dies trifft für g zu, und B' ist die dritte Nullstelle von g. Also hat g die faktorisierte Gleichung:

g(x) = a (x -0)(x-1)² = a(x³ -2x² +x)

(binomische Formel); den Wert von a bekommst durch Einsetzen von A'. Aus g(x) bestimmst du dann f(x) mit (2). Das geht alles fix & "fehlersicher" in wenigen Zeilen.


C. Zur Lösung der Aufgabe fehlt (egal, ob A. oder B.) dann noch die Aussage, dass für jeden höhen Grade uendlich viele weitere Lösungen gibt, weil (mindestens) ein weiterer Punkt frei wählbar ist und erst mit diesem eine ganzrationale Funktion höherer Ordnung eindeutig bestimmt ist.


D. Nachweis von (3), denn die Aussage ist in vielen Aufgaben mit ganzrationalen Funktionen 3. Ordnung praktisch:

  • Voraussetzung:

x = x0 ist Nullstelle einer ganzrationalen Funktion g(x) und

g(x) hat für x = x0 eine horizontale Tangente.

  • Behauptung:

x = x0 ist (mindstens) doppelte Nullstelle von g(x)

  • Beweis:

g(x) kann nach Voraussetzung faktorisiert werden zu:

g(x) = (x -x0) h(x); Ableitung mit Produktregel:

g'(x) = h(x) + (x -x0)h'(x); für x = x0:

g'(x0) = h(x0) + 0 = h(x0)

Da g(x) für x = x0 eine horizontale Tangente hat, ist 0 = g'(x0) = h(x0), und x = x0 ist auch Nullstelle von h(x), q.e.d.

Da ist noch eine Frage offen. Die Koordinaten des Punktes B sind nicht ganz klar. Wenn Du hier nur das / als Trennzeichen vergessen hast, dann wäre er B(0/-1). Du sagtest aber auch, da solle eine Symmetrie sein. Wenn Du anstelle des / versehentlich ein - geschreiben hat, dann wäre der Punkt B(0/1), und die Symmetrie wäre zu erkennen: Die Symmetrieachse verliefe bei x=1 durch den Tiefpunkt.

Eine Funktion 2. Grades würde nun ausreichen, um die Aufgabe zu lösen und der Tiefpunkt wäre nicht nur lokal, sondern er wäre der einzige.

y = ax² + bx + c

Wir sind leider keine Hausaufgabenhilfe, aber es gibt spezielle Matheboards, auf denen man dir gerne bei deiner Aufgabe helfen wird.

gio9675 27.06.2013, 23:05

Diesbezüglich kenne ich die AGB´s sehr genau. Ich möchte hier nur um Rat fragen und mich nicht am Lernen vorbei mogeln

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Hier die Bedingungen

f(2)=1

f(0)=-1

f(1)=-1

f'(1)=0

Das Gleichungssystem

8a + 4b + 2c + d = 1

d = -1

a + b + c + d = -1

3a + 2b + c = 0

Und die Funktion

f(x) = x^3 - 2·x^2 + x - 1

Da solche Fragen hier auf dem Portal nicht gerne gesehen sind und auch gelöscht werden geh doch zu gute-mathe-fragen.de.

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