Wie berechne ich die Determinante einer Matrix?

5 Antworten

Da gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Je nachdem, wie die Matrix konkret aussieht, kann sich eine Möglichkeit besser eignen als eine andere.

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Berechnung

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Für 1×1-Matrizen, 2×2-Matrizen, 3×3-Matrizen gibt es relativ einfache Formeln. Im 3×3-Fall kann man die Determinante beispielsweise mit der sogennanten Regel von Sarrus berechnen.

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Quadratische_Matrizen_bis_zur_Größe_3_×_3

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Bei Berechnung der Determinante größerer Matrizen, bietet sich oftmals eine Berechnung mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Gaußsches_Eliminationsverfahren_zur_Determinantenberechnung

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Insbesondere bei schwachbesetzten Matrizen, kann sich eine Berechnung mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes anbieten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz

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Theoretisch kann man die Determinante auch mit der Leibniz-Formel berechnen. Nicht wenige Mathematiker definieren die Determinante sogar anhand der Leibniz-Formel. Jedoch ist die Berechnung mit Hilfe der Leibniz-Formel oft nicht die effizienteste. Allerdings kann die Formel bei theoretischen bzw. allgemeineren Überlegungen bzw. Beweisen zu Determinanten manchmal gut weiterhelfen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Leibniz-Formel

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Des Weiteren kann helfen:

Bei einer n×n-Matrix A mit Eigenwerten λ₁, ..., λₙ ist die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte: det(A) = λ₁ ⋅ ... ⋅ λₙ

Bei einer Dreiecksmatrix ist die Determinante gleich dem Produkt der Diagonaleinträge.

2x2 gibt es eine einfache Formel. ad-bc

3x3 Regel von Sarrus

4x4 und mehr: Entweder diese Methode mit den Minoren verwenden (Unterdeterminanten) oder mit dem Gaußverfahren die Matrix diagonalisieren.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

Summiere die Werte der längsten Diagonalen und addiere sie mit weiteren Diagonalen, der selben Länge, wenn es welche gibt. Das gleiche dann mit der anderen diagonalen Richtung. Und dann ziehst du zweites vom ersten ab :) So wie es hier verdeutlicht wird:

 - (Mathematik, Technische Mathematik)

Funktioniert ab 4x4 allerdings nicht mehr.

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Iterativ durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte.

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