Wie berechne ich den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?

5 Antworten

Sei f(x) = ax² + px + q eine quadratische Funktion (impliziert a ungleich 0). Dann ist der Scheitelpunkt gegeben durch



Beweis: Der Scheitelpunkt liegt an der Nullstelle der ersten Ableitung. Diese ist durch f'(x) = 2ax + p gegeben. Umstellen von 0 = 2ax + p nach x ergibt -p/2a. Der y-Wert ist dann entsprechend f(-p/2a). QED

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium der Informatik

Mathematik-Unterricht sollte nicht ein Auswendiglerne von Formeln sein. Und die Differentialrechnung braucht man dafür auch nicht, aber ja, deine Antwort ist schon richtig, nur meine halte ich für zielführender.

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Wenn dir die Fkt gegeben ist : 

mit der quadratischen Ergänzung!

der "schlimmste" Fall : es steht eine Zahl vor dem x².

4x² + 24x + 20 .....................4 ausklammern

4*(x²+6x+5)

die qua Erg ist das Quadrat der Hälfte der Zahl vor dem x !

Hier also (6/2)² = 9

Weil man das addiert , muss man das gleich wieder abziehen. Das ist der eigentliche Trick

4*( x² + 6x + 9 - 9 + 5)

jetzt das fette zu einer binomischen Formel umschreiben

4( ( x + 3 )² - 9 + 5)

4*( (x+3)² - 4 ) 

Fertig 

der SP ist bei -3/-4 ( ja -3)

Der Faktor 4 heißt , diese Parabel ist schmaler als die Normalparabel, bei der a = 1 ist 

Musst auf Scheitelform bringen und dann nachdenken.

Z.B. f(x)=x²+2x+2

Dann f(x)=x²+2x+1+1=(x+1)²+1

Also x-Koordinate vom Scheitelpunkt =-1 (wir wollen ja, dass (x+1)² minimal wird, also müssen wir für x=-1 einsetzen)

Und die y-Koordinate ist dann f(-1)=(-1)²+2*(-1)+2=1-2+2=1

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Mittelpunkt der beiden Nullstellen.(Bzw. die Nullstelle, wenn nur eine existiert.)

Nullstellen berechnest du mittels Mitternachtsformel.

nicht jede quadratische Funktion hat eine Nullstelle

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@montarenbici2

Im komplexen schon. ;-)

Aber an sich hast du recht, für Schulmathematiker ist der Hinweis in einem solchen Fall wenig sinnvoll.

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@Destranix

Ja, hast schon recht, aber komplexe Nullstellen auszurechnen und dann den Mittelpunkt davon zu nehmen ist schon eine etwas ungewöhnliche Herangehensweise an die Problematik. Aber ja, so habe ich noch nie gedacht, habe jetzt auch was gelernt ;-)

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