Wie berechne ich den Scheitelpunkt einer Parabel, wenn sie keine 0-Stellen hat?

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6 Antworten

Du kannst die Parabel auch mit jeder beliebigen Gerade, die parallel zur x-Achse ist schneiden, zB mit y = 20. Dann gibt es wahrscheinlich 2 Schnittstellen, wobei der Scheitel genau beim arithmetischen Mittel der x-Werte der Punkte sein wird.

Der lange Weg führt über quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform. Willst du cheaten, leitest du die Funktion ab. Klingt kompliziert, ist aber sau einfach (und wenn du das nur zur Probe machst).

Erstmal der lange Weg:

f(x) = ax² + bx + c = a(x² + b/a x)  + c = a(x+ b/(2a))² -(b/(2a))² + c

Der Scheitelpunkt ist genau bei S(-b/(2a)|f(-b/(2a))) → auch eine Form des Cheatens ;)

Zahlenbeispiel:

Ohne Nullstellen: f(x) = 2x² + 4x + 6 = 2(x²+2x) + 6 = 2(x+1)² -1² + 6
S(-1|f(-1)) = S(-1|4)

Du kannst also im Prinzip dir auch einfach -b/(2a) merken und so direkt die x-Stelle deines Scheitelpunkts berechnen.

Cheat durch Ableitung (z. B. für Probe):

Erstmal nur anschauen, dann Gemeinsamkeiten erkennen:

f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b → der Strich bedeutet "Ableitung"

Was wurde gemacht?
Die 2 im Exponenten hinter dem x wurde einfach als Faktor davor gezogen und das x beim b weggelassen. Fertig.

Es fehlt nur noch ein kleiner Schritt, nämlich die Ableitung nullsetzen:

2ax + b = 0 | -b | :(2a)
x = -b/(2a)

Na, hat das Wiedererkennungswert?

Wieder mit Zahlen:

f(x) = 2x² + 4x + 6
f'(x) = 2*2x + 4

4x + 4 = 0 | -4 | :4
x = -1

Nur noch die Koordinate berechnen und fertig.

Suboptimierer 26.01.2016, 19:10

Wenn du die pq-Formel kennst, ist das -p/2 automatisch die Stelle, an der der Scheitelpunkt liegt.

Begründung:

f(x) = ax² + bx + c 

ax² + bx + c = 0 | :a 

wir strecken / stauchen nur die Funktion. Das ändert nichts am Scheitelpunkt.

x² + px + q = 0

x1,2 = -p/2 +/- Wurzel( (p/2)² - q )

Wir wissen, dass es nur eine Lösung gibt, wenn der Wert unter der Wurzel = 0 ist. Dann ist die einzige Lösung -p/2, da -p/2 + 0 = -p/2 - 0 ist.

Man kann also die Parabel durch Veränderung von q senkrecht so verschieben, dass der Wert unter der Wurzel 0 ergibt und die einzige Nullstelle genau bei -p/2 liegt. p ändert sich durch die Veränderung von q nicht. Somit liegt bei S(-p/2|f(-p/2)) der Scheitelpunkt.

Und da p = b/a gilt, kommen wir rückwärts eingesetzt wieder auf 

xs = -b(2a)

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Suboptimierer 26.01.2016, 20:52
@Suboptimierer

Ich wurde gerade darauf hingewiesen, dass die Aussage

wir strecken / stauchen nur die Funktion. Das ändert nichts am Scheitelpunkt.

nicht korrekt ist. Danke an Volens dafür.

Die Umwandlung von f(x) = ax² + bx + c nach f2(x) = x² + b/a x + c/a ist keine reine Veränderung des Streckungsfaktors. Auch der Verschiebungsfaktor wird so verändert, dass f2 die gleiche Symmetrieachse hat wie f. 

Ich habe das obige Beispiel einmal visualisiert. http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28+2x%C2%B2+%2B+4x+%2B+6%2C+x%C2%B2+%2B+2x+%2B+3%29

Der Scheitelpunkt ändert sich zwar, aber die Symmetrieachse bleibt gleich. Somit erklärt es sich, dass ich die Gleichung auf pq-Formel reduzieren darf. Zuerst interessiert ja nur das xs. Das f(xs) ergibt sich leicht durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.

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Fazit: Die Umwandlung in die pq-Form ist legitim. Der Scheitelpunkt verschiebt sich zwar senkrecht, aber die x-Stelle bleibt gleich.

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Suboptimierer 26.01.2016, 20:58
@Suboptimierer

(In der Scheitelpunktform f(x) = a(x-xs)² + ys bewirkt eine Änderung von a hingegen natürlich keine Änderung am Scheitelpunkt S(xs|ys).

Das meinte ich wahrscheinlich ursprünglich.)

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Eine quadratische Parabel kann gar nicht anders, als die y-Achse zu schneiden.
IMMER!

Nullstellen braucht sie nicht zu haben. Dann geht sie eben nicht durch die x-Achse, Sie verläuft komplett oberhalb oder unterhalb, z.B. y = x² + 1.

Und mit der quadratischen Ergänzung fängst du jeden Scheitelpunkt!

mit der quadratischen Ergänzung bzw Binomischer Formel.

Mit einer kleinen Lösungsformel kann ich leider nicht dienen, aber wenn du es dir ein wenig schwerer machen willst, dann verwende die Scheitelform. Hier kannst du dich informieren, wie es geht:

https://der-nachhilfe-lehrer.de/tag/scheitelform/

Nur mit dieser Info funktioniert das nicht... du brauchst auf jeden Fall den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt oder drei beliebige Punkte!

Was ist die kleine Lösungsformel?

Ca3los22 26.01.2016, 18:22

Q-P Formel(= kleine Lösungsformel[so haben wir es gelernt])

Aber wie würde es funktionieren wenn ich 3-Punkte habe?

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DoktorMayo 26.01.2016, 18:37
@Ca3los22

Die P-Q-Formel ist ja eine Formel, um quadratische Gleichungen zu lösen, sprich du hast nur noch eine Variable, nämlich x.

Den Scheitelpunkt ermittelt man am besten mit der Scheitelpunktsform für Parabeln, hier gibt es aber 2 Variablen, nämlich x und y bzw. f. Das ist das Verfahren, wenn du die Funktionsgleichung gegeben hast, was ich langsam vermute...

Die Scheitelpunktsform muss man aber gelegentlich erst aus der Normalform bilden, das macht man mit der quadratischen Ergänzung (dazu findet man schnell bei Google was).

Dazu setzt man in die Normalform dreimal die Koordinaten eines Punktes ein, dann hat man hinterher ein LGS mit 3 Variablen. 

Dieses löst man, indem man durch geschickte Kombination von zwei mal zwei Gleichungen (z. B. mit dem Additionsverfahren) zwei neue Gleichungen mit nur noch 2 Variablen bekommt.

Diese kombiniert man wieder, um eine Gleichung mit einer Variable zu erhalten, und diese löst man dann und setzt sie ein, um die anderen Variablen zu ermitteln.


Scheitelpunktsform: 

y=a(x-d)^2 + e  mit dem Scheitelpunkt S (d|e)


Normalform:

y=ax^2 + bx + c

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