Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Dreiecks von dem ich nur die Koordinaten der Eckpunkte und die Funktionen der begrenzenden Graphen kenne?

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7 Antworten

Hallo musicanna823,

Du brauchst die Angaben zu den Graphen g(x) und h(x) gar nicht. Unnötiger Ballast. Du brauchst noch nicht einmal eine Skizze. Die drei Punkte A, B und C definieren das Dreieck zur genüge. Du brauchst nur die Länge der drei Kanten auszurechnen:

von B nach C : a = Wurzel [ (9-6)^2 + (2-4)^2] = Wurzel(13)

von C nach A : b = Wurzel [(6-3)^2 + (3-4)^2] = Wurzel(10)

von A nach B : c = Wurzel [(3-9)^2 + (3-2)^2]= Wurzel(37)

Es gibt eine spezielle Flächenformel, bei der nur die drei Seitenlängen eines Dreiecks bekannt sein müssen:

  https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck#Unregelm.C3.A4.C3.9Fige_Dreiecke

Fläche = Wurzel[(a^2+b^2+c^2)^2 - 2 x (a^4+b^4+c^4)]/4

Fläche = Wurzel[(13+10+37)^2 - 2 x (13^2+10^2+37^2)]/4

Fläche = Wurzel[60^2 - 2 x 1638]/4

Fläche = Wurzel[324] / 4 = 18/4

Fläche = 4,5

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Das geht ganz elementar. Die Flächengleichung ist
A = g * h / 2
sofern es sich um ein allgemeines Dreieck handelt. Bei einigen Sonderformen übernimmt auch mal eine Seite die Rolle der Höhe (rechtwinklige Dreiecke).
Was du also brauchst, ist die Länge einer Seite und die Länge der darauf befindlichen Höhe.
Die Länge einer Strecke bestimmt man mit dem Pythagoras aus dem Steigungsdreieck der beiden Endpunkte. Dafür sind die Geraden nötig, auf denen die Seiten liegen. Da haben wir nämlich ein rechtw. Dreieck mit den Katheten Δy und Δx.
Ich habe das Dreieck nicht aufgemalt, aber auch die Höhe müsste analog zu ermitteln sein, wenn man geeignete Punkte wählt, einmal der Punkt gegenüber der Seite und dazu der Fußpunkt der Höhe auf der Seite.
Wenn du dich an die Sache heranmachst, kannst du eine Teillösung als Kommentar hier reinschreiben. Dann vertiefe ich mich da auch noch einmal hinein und helfe dir weiter. (Aber auch nur bei etwas Vorarbeit!)

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Kommentar von musicanna823
04.11.2015, 23:49

Ich habe nun alle Seiten berechnet. a = √13 b=√10 c = √37. Ich verstehe aber nicht wie ich die höhe berechnen kann.

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Die mögliche Berechnung über die drei Seiten haben ja schon andere Kollegen beschrieben, dazu brauch ich nichts mehr zu sagen.

(s. a. https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksfl%C3%A4che#Alle_drei_Seitenl.C3.A4ngen_gegeben)

Wenn Du aber über die bekanntere Formel F = gh/2 rechnen willst, kannst Du wie folgt vorgehen:

  1. Berechne die Länge einer beliebigen Seite, z. B. [AB], wie schon von den anderen beschrieben per Pythagoras aus den Koordinaten-Differenzen.
  2. Ermittle die Funktionsgleichung der dazu passenden Höhe, also z. B. zu hc. Dazu brauchst Du die Funktionsgleichung der Seite [AB] aus Schritt 1. Wenn diese die Steigung m hat, dann hat die Gleichung der Höhe die Steigung -1/m (zueinander senkrechte Geraden). Aus dieser Steigung und dem Punkt C kannst Du dann die Gleichung komplett errechnen.
  3. Bestimme den Höhenfußpunkt, nennen wir den mal P. Diesen bekommst Du als Schnittpunkt der Gleichung der Seite mit der Gleichung der Höhe: durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen aus den Schritten 1. und 2. bekommst du den x-Wert, diesen in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um das zugehörige y zu bekommen.
  4. Berechne die Länge der Höhe, also die Strecke [PC], wieder per Pythagoras aus den Koordinaten-Differenzen.
  5. Setze das ganze in die bekannte Formel ein, F = gh/2 = [AB]*[PC]/2
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Da du dich im Koordinatensystem befindest und die Koordinaten der Eckpunkte bereits hast, einfach Vektor AB und AC ausrechnen und dann in die Formel einsetzen: Fläche = ½·|(AB) x (AC)| (die senkrechten Strich sind "Betrag", das "x" steht für das Kreuzprodukt bzw. vektorielles Produkt)

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Aus den Eckpunkten kannst Du die Vektoren und die Länge der Strecken ausrechnen.

Und dann einfach: A= 0,5*g*h

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Ich gebe Dir noch einige Hinweise:

-> Punkte voneinander abziehen, um die Längen der Seiten herauszufinden.

-> Ergenisse in die sogenannte "Heron-Formel" einsetzen und über Ergebnis freuen!

-> Alternativ kannst Du auch mit der Höhe rechnen ... Mathematiker sind aber eher faul und ich würde die Heron-Variante präferieren.

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Kommentar von musicanna823
04.11.2015, 23:33

ich muss wohl leider die höhe berechnen, da ich noch nie etwas von der Herren-formel gehört habe :/ 

ich habe jetzt alle Seiten berechnet. wie finde ich den Punkt an dem die Höhe die Dreiecksseite trifft?

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Du brauchst die Distanzformel zwischen 2 Punkte dafür, die lautet -->

d = √( (x _ 2 - x _ 1) ^ 2 + (y _ 2 - y _ 1) ^ 2)

Distanz A - B -->

d = √( (9 - 3) ^ 2 + (2 - 3) ^ 2 ) = √( 36 + 1) = 6.08276253...

Distanz B - C -->

d = √( (9 - 6) ^ 2 + (2 - 4) ^ 2 ) =

√(9 + 4) = 3.605551275...

Distanz A - C -->

d = √( (6 - 3) ^ 2 + (4 - 3) ^ 2) ) = √(9 + 1) = 3.16227766

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Seiten -->

c = 6.08276253

a = 3.605551275

b = 3.16227766

Herons Formel für den Flächeninhalt (A) -->

A = √( s * (s - a) * (s - b) * (s - c) )

s = (a + b + c) / 2

s = 6.4252957325

A = 9 / 2

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Kommentar von musicanna823
04.11.2015, 23:53

Wow danke, dass du es für mich berechnet hast! 

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