Wie kann ich das berechnen 2+2^x=y ?

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3 Antworten

Ok wir haben nun folgende Funktion gegeben:

f: IR --> IR ; f(x) = 2 + 2^x

Wir suchen nun die Umkehrfunktion, eine Funktion welche jedem Wert von f(x) das zugehörige x liefert.

Zunächst steht die Frage im Raum, ist diese Funktion überhaubt umkehrbar?

--> Die Antwort ist : JA

Die Funktion ist Umkehrbar, da es sich um eine streng monotone Funktion handelt (Exponentialfunktion). 


Nun betrachte die Funktionsgleichung:

f(x) = 2 + 2^x

Wir versuchen nun durch Umformen nach f(x) eine Form für die Umkehrfunktion f^-1 zu finden, forme daher nach x um:


f(x) = 2 + 2^x   II -2

f(x) - 2 = 2^x   II log(...)   [Logarithmus zur beliebigen Basis !!!]

log(f(x) - 2) = x*log(2)  II *(1/log(2))

log(f(x) - 2)/log(2) = x


Mit dem Logarithmusgesetz:

log(a) - log(b) = log(a/b)

Erhalten wir hier nun:

log( (f(x) - 2)/2) = x

log( 0.5*f(x) - 1) = x


Somit haben wir nun unsere Umkehrfunktion gefunden. Ersetze einfach:

x = f^-1(y)

f(x) = y

--> f^-1(y) = log( 0.5*y - 1)   mit  y aus (2, inf)


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Falls y gegeben ist:

2^x = y-2

mit ln logarithmiert:

x * ln(2) = ln(y-2)       ( Voraussetzung:    y > 2 )

genügt dir das ?

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Du willst also nach x auflösen:

2+2^x=y     l-2

2^x    =y-2  l log2

x        =log2(y-2)

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