Wie bekommt man mittels Horner-Schema die Nullstellen für "f(x) = -0.01x⁴ - 0.1x² + 4"?

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5 Antworten

Sorry, ich habe übersehen, dass es sich um eine biquadratische Funktion handelt, dann kann man es auch elementar lösen  -->

f(x) = -0.01x⁴ - 0.1x² + 4

Substituiere z = x ^ 2

f(z) = -0.01 * z ^ 2 - 0.1 * z + 4

-0.01 * z ^ 2 - 0.1 * z + 4 = 0

a * z ^ 2 + b * z + c = 0

a = -0.01 und b = -0.1 und c = 4

ABC - Formel -->

z _ 1, 2 = ( - b -/+ √(b ^ 2 – 4 * a * c) ) / (2 * a)


z _ 1, 2 = ( - (-0.1) -/+ √((-0.1) ^ 2 – 4 * (-0.01) * (4)) ) / (2 * (-0.01))

z _ 1 = ( - (-0.1) - √((-0.1) ^ 2 – 4 * (-0.01) * (4)) ) / (2 * (-0.01))

z _ 2 = ( - (-0.1) + √((-0.1) ^ 2 – 4 * (-0.01) * (4)) ) / (2 * (-0.01))

z _ 1 = 15.6155281280883027491

z _ 2 = -25.6155281280883027491

Rücksubstitution -->

Da z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = - / + √(z)

x _ 1, 2 = - / + √(15.6155281280883027491)

x _ 1 = - 3.951648786

x _ 2 = +
3.951648786

z _ 2 kann man ignorieren, weil die Wurzel aus negativen Zahlen komplexe Ergebnisse liefert.


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Kommentar von Volens
03.02.2016, 09:06

Na, sicher, die Kombination x^4, x² und Absolutglied, - das schreit nach Substitution, sogar z = 0,1x² , wenn ich es richtig sehe. Dann braucht man es nicht um Mitternacht zu rechnen.

2

Auf dieser Webseite wird das Horner-Schema gut erklärt -->

http://www.mathebibel.de/horner-schema

Ansonsten schaue mal bei Youtube -->

https://www.youtube.com/results?search_query=horner+schema

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Eine andere Möglichkeit Nullstellen zu finden ist eine Wertetabelle aufzustellen, die meisten guten Taschenrechner können auch eine Wertetabelle erzeugen.

Auch dazu findet man auf Youtube etwas -->

https://www.youtube.com/results?search_query=wertetabelle

f(x) = -0.01x⁴ - 0.1x² + 4

Wertetabelle x | f(x)

-10 → -106
-9 → -69.71
-8 → -43.36
-7 → -24.91
-6 → -12.56
-5 → -4.75
-4 → -0.16
-3 → 2.29
-2 → 3.44
-1 → 3.89
0 → 4
1 → 3.89
2 → 3.44
3 → 2.29
4 → -0.16
5 → -4.75
6 → -12.56
7 → -24.91
8 → -43.36
9 → -69.71
10 → -106

Anhand dieser Wertetabelle kann man ein paar Schlussfolgerungen ziehen -->

1.) Es gibt keine Nullstellen an ganzzahligen Zahlen für x

2.) Aufgrund der Vorzeichenwechsel kann man erkennen, dass sich zwischen -4 und -3 und zwischen +3 und +4 jeweils eine Nullstelle befindet.

3.) Da die Funktion symmetrisch ist, wird die Nullstelle zwischen -4 und -3 denselben Wert haben wie die Nullstelle zwischen +3 und +4

4.) Es gibt wahrscheinlich nur diese 2 reellen Nullstellen, die anderen 2 Nullstellen werden komplexe Nullstellen sein, für die man sich in der normalen Schule für gewöhnlich nicht interessiert.

5.) Die Nullstellen liegen dichter am Wert -4 und +4 als an -3 und +3, weil der Funktionswert dort kleiner ist.

Lösen kann man das mithilfe des Newton-Verfahrens -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Das Newtonverfahren läuft folgendermaßen ab -->

1.) Wähle einen Startwert für x, den kannst du anhand einer
Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten.

2.) Berechne -->

z= x - f(x) / f´(x)

3.) Vergleiche z und x miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden,
dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu 6.)

4.) Setzte x= z

5.) Springe zu 2.)

6.) Setze x = z

7.) x st das Endergebnis, beende den Algorithmus jetzt.

Du brauchst für das Newton-Verfahren die Funktion, die 1-te Ableitung der Funktion und einen Startwert.

f(x) = -0.01x⁴ - 0.1x² + 4

f´(x) = -0.04 * x ^ 3 - 0.2 * x

Startwert x = 4

Nach 4 Iterationen erhält man den Wert x = 3.951648786024424

Wegen der Symmetrie der Funktion ist x = -3.951648786024424 die andere Nullstelle.

Wie bereits oben gesagt, sind die anderen 2 Nullstellen komplexe Nullstellen.

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Stimmt.
So ist es natürlich noch angenehmer. Den lösungsansatz haben wir sogar schonmal besprochen. Das schien ich wohl nicht mehr in erinnerung zu haben (geschweige denn erkannt zu haben).

Aber trotzdem sehr gut das Newton-Verfahren zu kennen. Das kann man globaler verwenden.

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Kommentar von DepravedGirl
03.02.2016, 14:54

Gerne :-)) !

0

Wow Vielen Dank @DepravedGirl,
Das Newton-Verfahren hat mir gefehlt :-) .

Komisch das wir das in der Schule nicht hatten und diese Aufgabe auf 3 Stellen hinterm komma rechnen müssen.

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Kommentar von DepravedGirl
03.02.2016, 05:19

Gerne :-)) !

1

Brauchst du hier nicht! Durch Substitution kommst du auf die pq-Formel!

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