Wie behandle ich komplexe Lösungen einer Differentialgleichung?

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4 Antworten

Also sei eine lineare DGL der Form:

ax"(t) + bx(t) = f(t)   und a ungleich 0  sowie b > 0

gegeben.

Zunächst berechnen wir die homogene Lsg:

ax"(t) + bx(t) = 0   II *1/a  mit a ungleich 0

x"(t) + (b/a)x(t) = 0     II sein nun (b/a) = w^2  mit b > 0

-> x"(t) + w^2*x(t) = 0

Wir wählen den Ansatz:  x = e^(k*t)

Wir erhalten nach Division durch e^(k*t) das charakterischtische Polynom:

p(k) = k^2 + w^2

Wir  lösen nun:

k = +/- (-w^2)^(1/2) = +/- i *w

Wir erhalten nun also die zwei linear unabhängigen Fundamentalösungen:

xh1(t) = e^(iwt)    und    xh2(t) = e^(-iwt)

Laut Superpositionsprinzip liefert dann auch jede lineare Kombination dieser ebenfalls eine Lösung. Wir wollen eine vollständig reelle Funktion, daher können wir folgendes tun (wir benötigen ebenfalls wieder zwei unabhängige Lösungen für eine Fundamentalbasis):

mit  (z + z*)/2 = Re{ z }     und   (z - z*)/(2i) = Im{ z }

---> (xh1(t) + xh2(t))/2 = Re{ xh1(t) } = cos(wt)

---> (xh1(t) - xh2(t))/(2i) = Im{ xh1(t) } = sin(wt)

Somit erhalten wir also die beiden linear unabhängigen Lösungen:

ph1(t) = cos(wt)    und    ph2(t) = sin(wt)

welche die Fundamentalbasis für die gegebene DGL darstellen.


Damit folgt unsere homogene Lösung der DGL zu:

xh(t) = K1*cos(wt) + K2sin(wt)


Für eine vollständige Lsg gilt es dann nur noch eine partikuläre Lösung für die Gleichung:

ax"(t) + bx(t) = f(t)  

zu finden. Häufig ist diese vom Typ von f(t).

Sei die partikuläre Lsg an dieser Stelle ermittelt und gegeben durch xp(t), so folgt die Gesamtlösung:

x(t) = K1*cos(wt) + K2sin(wt) + xp(t)


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Kommentar von HanzeeDent
16.10.2016, 13:57

Wunderschön! Danke!

Die partikuläre Lösung erhält man ja,wenn man die (abgeleiteten) homogenen Lsgn in die Ableitungsfunktionen der DGL einsetzt und nach x(t) umstellt, oder?

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s1 = (C1 + iB1) e^(iwt)

s2 = (C2 + iB2) e^(-iwt)

s = s1+s2

e^iwt = coswt + i sinwt

e^-iwt = coswt - i sinwt

s = 2C1 coswt + 2B1 sinwt = C1' coswt + C2' sinwt

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Kommentar von HanzeeDent
16.10.2016, 13:28

Perfekt, danke!

Weißt du auch, warum ich die Partiallösungen addieren muss? Mir kommt das sehr willkürlich vor.

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Die Eulersche Formel hilft Dir weiter. Deine e-Funktionen mit komplexen Exponenten lassen sich in Sinus- und Cosinusfunktionen umformen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

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Kommentar von HanzeeDent
16.10.2016, 13:05

Das habe ich eben gemacht, dann habe ich aber immernoch 2 komplexe Funktionen, die ich doch irgendwie zusammenführen muss?

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In deinen Lösungen kommt gar kein t vor. Und was meinst du mit behandeln?

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Kommentar von HanzeeDent
16.10.2016, 12:38

t vergessen, sorry^^ Wie komme ich jetzt auf die Schwingungsfunktion? Ich kann damit gerade nichts anfangen.

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