Wie begründet man logisch das die Leere der Leeren Menge in jeder Menge enthalten ist (Teilmenge)?

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5 Antworten

Wie wär's, du erklärst mal, bis wohin du die Antworten zu den sehr ähnlichen Fragen, die du schon hierzu gestellt hast, verstanden hast?

Zur Antwort:

A heißt genau dann eine Teilmenge von B, wenn:

- du nimmst dir der Reihe nach alle x vor. (Aus dem Grundbereich - ohne Bereichseinschränkung geht's nicht - sonst kriegen wir irgendwann die Russelsche Antinomie.)

- du prüfst, ob dieses x ein Element von A ist.

- falls nein: du bist mit diesem x fertig

- falls ja:

- du prüfst, ob dieses x ein Element von B ist

- falls ja: du bist mit diesem x fertig

- falls nein: Du hast ein Gegenbeispiel gefunden. A ist keine Teilmenge von B. Du kannst dir die Prrüfung der übrigen x sparen.

- wenn du mit allen x fertig bist und kein Gegenbeispiel gefunden hast, dann ist A eine Teilmenge von B.

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Ich würde das folgendermaßen begründen:

Sei M eine beliebige Menge, so gilt:

M ∪ {} = M

Daraus folgt: {} ⊂ M

Da die Menge M beliebig ist, gilt diese Beziehung für jede Menge.

{∅} ⊂ M ist natürlich auch korrekt.

Das ist aber nur eine logische Erklärung, kein Beweis!

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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Kommentar von Melvissimo
29.07.2016, 07:55

{∅} ⊂ M ist natürlich auch korrekt.

Also für mich zumindest sieht das ziemlich falsch aus; etwa {∅} ⊂ { } stimmt nicht: die linke Menge enthält ein Element (nämlich die leere Menge), die rechte Menge aber nicht.

Deine logische Erklärung hingegen ist tatsächlich ein waschechter Beweis. Es lässt sich nämlich leicht zeigen:

Sind A und B Mengen und ist A ∪ B = A, dann ist B ⊂ A.

(Wäre das nicht der Fall, so wähle ein x aus B, das nicht in A liegt. Dann läge x in A ∪ B, aber nicht in A; also könnten die Mengen nicht gleich sein).

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Kommentar von SlowPhil
29.07.2016, 23:37

{∅} ⊂ M ist natürlich auch korrekt.

Im Allgemeinen nicht, M muss die Leere Menge als Element enthalten. Immer korrekt ist hingegen

∅ ⊂ M.

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Nimm mal alle elemente aus B die NICHT in A enthalten sind. Was bleibt über? A.


Das ganze geht natürlich nur wenn A eine teilmenge ist. Ansonsten ist danach A != B

EDIT: beispiel:
A = {1,2,3,5} B= {1,2,3,4} == B={1,2,3} != A  -> A ist also keine teilmenge von B

Wenn wir das ganze auf
A = {} und B={1,2,3,4} anweden kommt:
A ={} und B={} a und b Sind identisch. Ergo ist a eine Teilmenge von B

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Kommentar von FouLou
28.07.2016, 17:25

Anmerkung: Da die Leere Menge nie ein Element Enthalten wird müssen wir bei einer Vergleichmenge IMMER alle elemente entfernen. Somit gilt das Die Leere Menge auch teilmenge einer jeden anderen menge ist.

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Du musst zeigen, dass "x€{} =>x€A" für beliebige Mengen A. Da x€{} nie wahr ist, ist die Aussage wahr, da implikationen immer wahr sind, wenn die erste Aussage falsch ist.

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Kommentar von Tannibi
28.07.2016, 17:54

Klingt wie das berühmte "Ex falso aliquid".

Aber sollte aus einer falschen Aussage nicht gar nichts
folgen anstatt alles?

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Sei M eine Menge. 

Angenommen, { } wäre keine Teilmenge von M. 

Dann gäbe es ein Element x in { }, das kein Element von M ist. Aber es gibt überhaupt kein x in { }, daher ist das unmöglich (Widerspruch).

Da unsere Annahme zu einem Widerspruch führt, muss sie falsch sein. Daher ist { } eine Teilmenge von M.

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