Wie beende ich diese Polynomdivision?

Weil ich nicht alles Wegsubtrahieren kann bleiben dennoch zwei Zahlen stehen - (Schule, Mathematik, Algebra)

3 Antworten

Zunächst einmal kann man 5x²+2x+x zu 5x²+3x zusammenfassen. Danach erhält man durch Subtraktion von 5x²-5 den Rest 3x+5. Da dieser Rest vom Grad her kleiner ist als der Grad des Divisors x²-1 endet an dieser Stelle dann die Polynomdivision.

Ergebnis:
2x+5 Rest: 2x+5
bzw.
2x+5 + (3x+5)/(x²-1)

Wenn man bei einer Polynomdivisionsaufgabe nicht weiterkommt würde ich diese Seite empfehlen, die einem die Polynomdivision mit Erklärung vorrechnen kann:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

Wie bei der schriftlichen Division von Zahlen zieht man auch bei der Polynomdivision
vom Dividenden nach und nach passende Vielfache des Divisors ab, bis am Ende möglichst
kein Rest mehr bleibt. Dazu wird in jedem Schritt derjenige Summand des Restes elimi-
niert, bei dem x in der höchsten Potenz steht.
Die Summanden des Quotienten erhält man daher durch Division dieses Summanden der 
jeweiligen Reste durch den Summanden des Divisors mit der höchsten Potenz von x. 
In diesem Beispiel ist das x^2.

Betrachte den Dividenden 2x^3 + 5x^2 + x als ersten "Rest".

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von x ist 2x^3.
Da 2x^3/(x^2) = 2x, ist der erste Summand des Quotienten 2x.
Berechne 2x·(x^2 - 1) = 2x^3 - 2x
und subtrahiere dies vom letzten Rest. 
-> neuer Rest: 5x^2 + 3x

Der Summand dieses Restes mit der höchsten Potenz von x ist 5x^2.
Da 5x^2/(x^2) = 5, ist der nächste Summand des Quotienten 5.
Berechne 5·(x^2 - 1) = 5x^2 - 5
und subtrahiere dies vom letzten Rest. 
-> neuer Rest: 3x + 5

Der Rest hat einen kleineren Polynomgrad (g=1) als der Divisor (g=2) -> Abbruch

Der Quotient wird ergänzt durch den Summanden "Rest/Divisor".

Es ergibt sich somit das folgende Ergebnis der Polynomdivision:

2x + 5 + (3x + 5)/(x^2 - 1)
(2x^3  + 5x^2  +  x     ) : (x^2 - 1)  =  2x + 5   Rest  3x + 5
 2x^3          - 2x     
 ———————————————————————
         5x^2  + 3x     
         5x^2        - 5
         ———————————————
                 3x  + 5

Kleiner Fehler: Statt

2x+5 Rest: 2x+5

wollte ich

2x+5 Rest: 3x+5

schreiben.

0

Naja - warum addierst Du nicht 2x + x zu 3x?  :-)

Wenn dann nach der nächsten Division noch ein Rest bleibt, schreibst Du den als Bruch hinter Dein Ergebnis.

Das Polynom hat ja auch weder 1 noch -1 als Nullstelle. Teile mal durch x ;-)

= 2x² -5x +1

Den Rest kannst du alleine, oder?

upps, es muss natürlich heißen

2x² +5x +1

0

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