Wie aus verschiedenen Punkten im Koordinatensystem eine mathematische Funktion herleiten?

... komplette Frage anzeigen

9 Antworten

Bei 12 Punkten gibt es eine Polynomfunktion höchstens elften Grades, die durch diese Punkte verläuft.

f(x)=ax^11+bx^10+cx^9+dx^8+ex^7+fx^6+gx^5+hx^4+ix³+jx²+kx+l

Setze die Koordinaten der Punkte für P(x|f(x)) ein und löse das lineare Gleichungssystem mit 12 Gleichungen auf, um a-l zu bestimmen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Tannibi
20.06.2016, 09:00

Ich glaube kaum, dass so etwas gesucht ist.

0
Kommentar von Zerbi901
20.06.2016, 09:01

Äää was? xD

0

Wenn es so aussieht, als könntest du eine Funktion 2. Grades aufstellen, auf der diese Punkte enthalten sind, lässt sich das noch relativ einfach über die Punkt Steigungsformel herleiten. Für alles Weitere verwendest du die Trassierung/Erstellung einer Funktion. Je höher der Grad, desto länger die Arbeit und desto aufwändiger und fehleranfälligen. Ohne das Verfahren gelernt zu haben, wird das schwer. Dazu solltest du einen Rechner verwenden, wie von Willi empfohlen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Hallo,

zwölf Punkte? Das gibt ein Gleichungssystem mit 12 Unbekannten und eine Funktion elften Grades. Viel Vergnügen dabei.

Hier findest Du einen Online-Rechner, der Dir die Mühe abnehmen kann:

http://elsenaju.info/Rechner/Gleichungssystem-Cramer-NxN.htm

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von sophie1235
20.06.2016, 08:55

Vielen Dank für den Link. Wie benutzt man diesen Rechner?

0

Ich würde sie mal aufzeichnen und schauen, wie das Ganze aussieht.
Vielleicht liegen sie ja auf einer Geraden oder Parabel, oder einer Kreislinie.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Funktionen gibt es unendlich viele, schlimmer: Es gibt auch unendlich viele Typen von Funktionen.

Wichtig ist zuerst, ob es sich bei den Punkten um Messwerte handelt, denn dann ist es sinnlos, eine Funktion zu suchen, auf deren Graphen sie alle exakt liegen, wir können dann nur eine Näherungsfunktion suchen.

Die andere Möglichkeit ist, dass die Punkte einem Funktionsgraphen eines bekannten Typs entnommen sind. Dann können wir den Funktionsterm vielleicht berechnen, oder der Rechner kann es. (Die Vorgabe von zwölf Punkten ist allerdings in diesem Fall untypisch, ein Taschenrechner kann das i. A nicht verarbeiten.) Dazu müssen wir aber erst den Funktionstyp erraten.

Wir zeichnen die Punkte also auf und raten dann, was für ein Funktionstyp denn in Frage kommen könnte: linear, ganz rational, gebrochen rational, exponential, logarithmisch, trigonometrisch, logistisch, Glockenfunktion, Verteilungsfunktion ... Das waren jetzt die, die in der Schule behandelt werden. 

Wenn es sich um Messwerte handelt, lauten die  nächsten Fragen: Wie komplex darf die Funktion denn sein, und wie groß dürfen die Abweichungen sein. Eine ganzrationale Fktn. elften Grades mit zehn Extrempunkten ist dann ja wohl kaum gesucht. Keineswegs immer kann man überhaupt eine finden.

Wenn die Punkte dem Graphen einer bekannten Funktion entnommen sind, kann man den Funktionsterm als Mathematiker mit einiger Übung meist so ungefähr erraten, gibt ihn ein in den Graphiktaschenrechner und korrigiert die Werte so lange, bis es hinhaut. Aber bei zwölf Punkten kann das etwas länger dauern.

Vielleicht könnte ich Dir weiter helfen, wenn ich die Punkte kennen würde, dann müsstest Du sie halt konkret benennen. So allgemein kann ich mehr nicht vsagen.

Ich grüße Dich

Ottavio

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Du könntest einfach alle Punkte durch Geraden verbinden, dann brauchst du nicht mal ein Programm, sondern kannst es per Hand ausrechnen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Dovahkiin11
20.06.2016, 08:54

Er braucht aber -eine- Funktion. Mit verbundenen Geraden funktioniert das nicht.

1

Es gibt dazu eine Fülle von verschiedenen Verfahren. Das Polynom, das alle Punkte genau trifft, wurde schon beschrieben, auch die Ausgleichsgerade oder Spline-Funktion, die die Punktewolke vielleicht mit brauchbarer Näherung beschreibt.

Tannibis Rat, eine Zeichnung zu machen und von hier aus über die geeignete Art von Funktion nachzudenken, ist richtig, denn die menschliche visuelle Wahrnehmung ist in der Mustererkennung sehr leistungsfähig. Falls die Punkte z.B. eine Periodizität erkennen lassen, bietet sich eine Fourierreihe an.

Die Frage von Schachpapa, welche Anforderungen die Funktion denn erfüllen soll, ist entscheidend dafür, auf welche Art Du eine Lösung suchst. Mit Näherungen kommst Du leichter ans Ziel.

Für die Suche nach annähernd passenden Funktionen schau unter Regressionsanalyse. Die englische Wikipedia hat hierzu eine Artikelserie, in der verschiedene derartige Verfahren beschrieben werden:

https://en.wikipedia.org/wiki/Regression\_analysis

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Welche Anforderungen sind denn an die Funktion gestellt?

Müssen alle Punkte genau getroffen werden oder reicht eine Regressionsgerade?

Brauchst du einen geschlossenen Ausdruck oder darf es auch stückweise definiert sein (dann kannst du einfachere Funktionen aneinander kleben)

Muss sie stetig und differenzierbar sein (also keine Unterbrechungen oder scharfe Knicke)? Dann würden sich kubische Splines anbieten.

Wenn du eine ganzrationale Funktion durch deine Punkte suchst, wirst du nach viel Aufwand sehr wahrscheinlich ein Ergebnis erhalten, das sehr stark oszilliert (viele Hoch- und Tiefpunkte hat). Das will man meist nicht.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Schachpapa
20.06.2016, 10:47

Probier mal bei http://wolframalpha.com :

fit polynomial {15, 8}, {31, 9}, {38, 10}, {52, 10}, {75, 11}

oder

linear fit {15, 8}, {31, 9}, {38, 10}, {52, 10}, {75, 11}

statt linear probiere quadratic cubic exponential logarithmic

fit polynomial macht dir eine ganzrationale Funktion (in deinem Fall 11. Grades), die genau durch alle Punkte geht.

Die anderen machen dir jeweils eine einfachere Funktion und minimiert dabei den Fehler. Zum Annähern von Zwischenwerten sind letztere besser geeignet.

wolfram kann auch splines, ich habe aber nicht herausgefunden, wie die genaue Syntax ist.

1

Dürft ihr dafür die Funktion zeichnen?

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von sophie1235
20.06.2016, 08:54

Ich darf alles, denn es geht hier nicht um die Schule :)

0

Was möchtest Du wissen?