Wie auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit (bei Fkt mit Betrag) untersuchen?

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4 Antworten

A. Ich würde die Funktion (wie Kungfukuh) in Äste trennen:

f(x) = (folgt große geschweifte Klammer,hier nicht möglich: )

  • x² -2x -3 für ] -unendlich, -1] (links offenes Intervall)

  • -x² +2x +3 für ]-1, 3[ (offenes Intervall)

  • x² -2x -3 für [3, +unendlich, -1[ (rechts offenes Intervall)

Es ist möglich, den Scheitel einer Parabel als Extremum zu definieren. Das müsste dann aber so eingeführt sein (im Schulunterricht wohl eher unüblich). Daher:

ZUR FRAGESTELLUNG SCHEITEL (OHNE DIFFERENZIALRECHNUNG)

Für alle drei Funktionsäste kannst du mit Doppelvorzeichen-Schreibweise den x-Wert des Scheitels mit quadratischer Ergänzung bestimmen (Das Zeichen kriege ich nicht in diesen Text gebastet; der Term lautet "plusminus x Quadrat minusplus zwei x minusplus drei").

B. Allerdings ist die Rechnung mit Doppelvorzeichen umständlich und fehleranfällig. Einfachere Möglichkeit: Der x-Wert des Scheitels ist das arithmetische Mittel ( = der "Durchschnitt") der Nullstellen (1). Das ist besonders praktisch, wenn die Nullstellen (wie hier) einfach zu ermitteln sind. Sie lassen sich mit dem Satz von Vieta und wenig Kopfrechnen direkt aus dem Term ablesen.

Wenn du die Aussagen (1) nicht verwenden darfst, kannst du sagen, dass der Scheitel die der Schnittpunkt einer Parabel mit ihrer Symmetrieachse ist, seinen x-Wert xn zutreffend erraten und nachweisen, dass

f(xn -x) = f(xn +x) ( = Bedingung für Achsensymmetrie).

Wieder kannst du mit Doppelvorzeichen alle Äste der Funktion in einer einzigen Rechnung abhaken.

C. Wie lässt sich mit (1) und der pq-Formel für die Lösung einer quadratischen Gleichung eines sehr einfache Formel für den x-Wert eines Parabelscheitels gewinnen? Diese gilt auch dann, wenn die Parabel keine reellen Nullstellen hat.

ZUR FRAGESTELLUNG STETIGKEIT UND DIFFERENZIERBARKEIT

D. Untersuchungen auf Stetigkeit sind bei Funktionen mit Betragsstrichen intervallweise möglich. An einem rechten Rand eines Intervalls kann linksseitige Stetigkeit bestehen, wenn der Rand im Intervall enthalten ist ( = das Intervall ist abgeschlossen), ansonsten kann linksseitige stetige Fortsetzbarkeit bestehen (bei Wikipedia nennen sie das "stetige Ergänzbarkeit", wie ich gerade feststelle). Die Funktion ist an einem solchen Rand stetig, wenn sie an diesem rechtsseitig stetig und linksseitig stetig fortsetzbar ist (praktische eher selten, aber möglich, z.B. y = |x³| bei x = 0).

Die letzten beiden (deutschen) Sätzen bleiben gültig, wenn du die Buchstabenfolgen "rechts" und "links" vertauschst.

Ob die entsprechende einseitige Stetigkeit besteht, untersuchst du konkret unter Verwendung der Definition oder (praktischer) der einschlägigen Sätzen über die Stetigkeit von Verkettung, Summe, Differenz, Produkt, Quotient stetiger Funktionen (steht teilweise auch im Wikipedia-Artikel über Stetigkeit, kompletter, aber anspruchsvoller in >http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_differenzialrechnung/08_stetige_funktionen.pdf ).

Konkrete Aussagen zur betrachteten Funktion siehe Aurel8317648 und Stamina

E. Untersuchungen auf Differenzierbarkeit der betrachteten Funktion sind bei Betragsfunktionen ebenfalls intervallweise möglich... der ganze Schotter aus D. ist mit "differenzierbar" statt "stetig" wiederzukäuen.

Die Funktion lässt sich schreiben als:

f(x) = x²-2x-3 (falls positiv), sonst - (x²-2x-3) (falls negativ)

Untersuche also als erstes, wo f(x) = x²-2x-3 positiv bzw. negativ ist.

Danach wie gewöhnlich verfahren.

Stetigkeit:

Für alle xo: Lim (x -> xo) f(x) = f(xo)

Differenzierbarkeit:

kritischer Punkt bei xo = -1

untersuche ob lim (h->0)) (f(xo+h) - f(xo))/h = lim (h->0) (f(xo-h) - f(xo))/h

Aurel8317648 31.01.2013, 17:52

Korr.: untersuche ob lim (h->0)) (f(xo+h) - f(xo))/h = lim (h->0) (f(xo-h) - f(xo))/(-h)

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Lass dir die Gleichung doch mal plotten:

Es gibt halt keinen Negativen Teil, bzw. der ist gleich dem Positiven.

Nullstellen lassen sich ganz normal bestimmen:

ABS(x^2 - 2·x - 3) = 0
x = 3 ∨ x = -1

Und die Ableitung:

f(x)  = ABS(x^2 - 2·x - 3) 
f'(x) = (2·x - 2)·SIGN(x^2 - 2·x - 3)
Aurel8317648 31.01.2013, 17:37

f(x) ist aber für x=-1 nicht differenzierbar

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ollaha 31.01.2013, 19:35
@Stamina

Ok dankesehr. Habe nun alles, bin mir aber bei dem Rechenweg der Scheitelgleichung sehr unsicher. Wie sieht der Rechenweg dafür denn aus? Der Scheitel müsste doch etwa bei (1/-4) liegen?

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