Widerlegung eines Grenzwerts von sin(n) per ε-Umgebung

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3 Antworten

Inzwischen fand ich heraus: Es ist relativ einfach zu zeigen, dass sin(n) weder einen positiven noch einen negative Grenzwert haben kann.

Die (in Bogenmaß angegebenen Winkel sin(x) und sin(x +π) haben für x ≠ 0 unterschiedliches Vorzeichen. Da zwischen kπ und (k+1)π immer eine natürliche Zahl liegt, gibt es sowohl eine Teilfolge von sin(n), die nur positive Werte hat (1), als auch eine Teilfolge, die nur negative Werte hat. (2)


Annahme: a ist der vermutete Grenzwert.

Fall 1: a > 0

Gib 0 < ε < | a | vor.

Wegen (2) existiert eine Teilfolge, die nur negative Werte hat. Diese liegen alle außerhalb der ε-Umgebung von a (Widerspruch).

Fall 2: a < 0

Gib 0 < ε < | a | vor.

Wegen (1) existiert eine Teilfolge, die nur positive Werte hat. Diese liegen alle außerhalb der ε-Umgebung von a (Widerspruch).


Fehlt noch zu zeigen, dass sin(n) nicht gegen 0 konvergiert.

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...zur Erledigung des Rests (sin(n) konvergiert auch nicht gegen 0, wenn n ein Winkel im Bogenmaß ist):

Die Funktion sin(x) ist in geeigneten Umgebungen ihrer Nullstellen kπ, k ∈ N streng monoton (nur zur Anschauung, unwichig für den Beweis: streng monoton steigend für gerade k und streng monoton fallend für ungerade k).

Also gibt es ein ε>0 so, dass sin(ε) höchstens dann in einer ε-Umgebung von 0 liegt, wenn x in einer δ = 0,1-Umgebung von 0 + kπ liegt. (1) (Wieder zur Anschauung, auch unwichtig für den Beweis: Das ist genau dann der Fall, wenn ε = arcsin(0,1) ist.)

Gib ein solches ε>0 vor. Wegen

(k+1)π -0,1 - (kπ + 0,1) =

kπ + π -0,1 -kπ -0,1 = π -0,2 > 1

gibt es zwischen

der rechte Grenze der 0,1-Umgebung von kπ und

der linken Grenze der 0,1-Umgebung von (k+1)π

für jedes k eine natürliche Zahl, die in keiner 0,1-Umgebung eines Vielfachen von π liegt.

Durch Auswahl dieser natürlichen Zahlen gibt es wegen (1) gibt es eine Teilfolge von sin(n), deren Glieder außerhalb der ε-Umgebung von 0 liegen, und sin(n) konvergiert nicht gegen 0, q.e.d.


Zusammenfassung: Doch, das geht alles mit ε.

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Kommentar von isbowhten
04.09.2013, 21:13

"Also gibt es ein ε>0 so, dass sin(ε) höchstens dann in einer ε-Umgebung von 0 liegt, wenn x in einer δ = 0,1-Umgebung von 0 + kπ liegt. (1) "

du meinst statt sinus(epsilon) wohl sinus(x)

da der fragensteller zudem mit "epsilons" rechnen muss, dann kannst du nicht sagen: "in geeigneten Umgebungen". das ist zu waghalsig für jmdn. der folgen durchnimmt. v.a. weil man die umgebungen einfach angeben kann. also sollten wir noch anmerken: die umgebung hat den "radius" pi/2 und pi/2 >0.1

ansonsten sehr zufriedenstellend.

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A. Wenn das Argument des Sinus im Gradmaß angegeben ist, ist das nicht allzu schwer:

Annahme: a ist der vermutete Grenzwert.

Fall 1: a ≠ 1

Gib 0 < ε < | a-1 | vor. Nach Annahme existiert ein n0 so, dass für n > n0 alle sin(n) in einer ε-Umgebung von a liegen. Das trifft nicht zu, weil alle Elemente der Teilfolge

1 = sin (90 * (4m+1)), m ∈ N

außerhalb einer solchen Umgebung liegen.

Fall 2: a = 1

Gib ε = 1/2 vor. Nach Annahme existiert ein n0 so, dass für n > n0 alle sin(n) in einer ε-Umgebung von a liegen. Das trifft nicht zu, weil alle Elemente der Teilfolge

-1 = sin (90 * (4m+3)), m ∈ N

außerhalb einer solchen Umgebung liegen.


B. Wesentlich kniffeliger ist das, wenn das Argument des Sinus (wie üblich) im Radiantmaß angegeben ist. Da grübele ich noch.

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Kommentar von BBoyD
04.09.2013, 16:20

Wieso macht das ein Unterschied ob a 1 oder nicht 1 ist? Und wie kommst du auf diese 4m+1 bzw 4m+3???

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Kommentar von isbowhten
04.09.2013, 16:42

gradmaß und bogenmaß sind ja einwandfrei und vollkommen einfach ineinander umrechenbar. daher kein problem..... 90 grad sind einfach pi/2

?? ein wunder, dass du darüber "angeblich" noch grübelst, wenn du so eine einwandfreie antwort abgibst.

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