wia kann man die formel a=r^2 × Pii herleiten?

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3 Antworten

Hallo,
die Formel für die Kreisfläche lautet A=πr². Herleiten kannst Du sie, wenn Du ein regelmäßiges Vieleck in einen Kreis einschreibst. Je mehr Ecken dieses Vieleck hat, desto mehr nähert sich seine Fläche der Kreisfläche an. Zeichne einmal ein Quadrat in einen Kreis, ein Sechseck, ein Achteck, dann siehst Du dies sofort. Wenn Du zwei nebeneinanderliegende Kanten des Vielecks, die auf dem Kreis liegen, mit dessen Mittelpunkt und miteinander verbindest, bekommst Du ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel gleich dem Kreisradius sind. Der von ihnen eingeschlossene Winkel ist ein Zentriwinkel dieses Kreises. Seine Größe ist 360°/n, die Fläche des Vielecks ist n-mal die Fläche des Dreiecks, denn das regelmäßige Vieleck, das Du diesem Kreis einbeschrieben hast, besteht aus n kongruenten, also deckungsgleichen gleichschenkligen Dreiecken. Die Fläche eines dieser Dreiecke bekommst Du, wenn Du seine Grundseite - nennen wir sie a ´- a verbindet zwei nebeneinanderliegende Kanten des Vielecks - mit der Höhe auf a (h) multiplizierst und das Ergebnis durch 2 teilst: F=(a/2)h. Nun kennst Du weder a noch h, aber Du kennst den Winkel, der a gegenüberliegt: 360°/n, und Du kennst die beiden gleichen Seiten r, die diesen Winkel einschließen. Wenn Du h einzeichnest, teilt der Fußpunkt dieser Höhe die Grundseite a in zwei Hälften. Dein gleichschenkliges Dreieck wird so in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke geteilt. Die Höhe h und die halbe Seite, also a/2, sind die Katheten, r ist die Hypotenuse. Der Winkel wird durch die Höhe ebenfalls geteilt. So bekommst Du ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel am Kreismittelpunkt, der 180°/n groß ist. Nennen wir diesen Winkel α. Nun gilt: sin(α)=a/2:r. Dann ist a/2=r*sin(α). h kannst Du nun nach dem Satz des Pythagoras berechnen: h²=r²-(a/2)². Da a/2=r*sin(α) ist, gilt: h²=r²-r²*sin²(α). Dann ist h=√[r²-r²*sin²(α)]. Das r² unter der Wurzel kannst Du ausklammern und als Faktor r vor die Wurzel stellen: h=r*√[1-sin²(α)]. √[1-sin²(α)] ist aber nichts anderes als die Wurzel aus cos²(α), also cos(α). Also: h=r*cos(α) Nun können wir die Fläche des gleichschenkligen Dreiecks, also (a/2)*h, so ausdrücken: r*sin(α)*r*cos(α) oder r²*sin(α)*cos(α). Nun gibt es das sogenannte Additionstheorem für den Sinus, das da lautet: sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a). Du erinnerst Dich, daß α nur der halbe Zentriwinkel ist, der aus dem rechtwinkligen Dreieck. Der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ist somit 2α oder α+α. Nach dem Additionstheorem gilt: sin(2α)=sin(α+α)=sin(α)cos(α)+sin(α)cos(α), also 2*sin(α)cos(α). Dann muß sin(α)cos(α)=(1/2)sin(2α) sein. So lautet die Formel für die Dreiecksfläche: r²*(1/2)*sin(2α). Da das Vieleck aus n solcher Dreiecke zusammengesetzt ist, berechnest Du dessen Fläche A, indem Du eine Dreiecksfläche mit n multiplizierst: A=n*r²*(1/2)*sin(2α). Da α dasselbe ist wie 180°/n, ist 2α dasselbe wie 360°/n. Also: A=n*r²*(1/2)*sin(360°/n) Die Frage ist nun, was passiert, wenn n sehr groß wird. Dann gleicht sich die Fläche des Vielecks immer mehr der Fläche des Kreises an, dem es eingeschrieben ist, sie sollte also gegen πr² gehen. Das r² steht auch in der Formel für die Vielecksfläche. Dann muß der Rest der Formel,
also n*(1/2)*sin(360°/n) gegen π gehen. Das kannst Du leicht nachweisen, indem Du mit Hilfe eines Taschenrechners für n/2 einmal Werte wie 1000 oder 1.000.000 oder 110^12, also eine Billion eingibst. Spätestens, wenn Du 10^7*sin(360/(2*10^7)) eingibst, spuckt Dir Dein Rechner die Kreiszahl π aus. Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
22.11.2015, 21:34

Hallo,

wenn Du (n/2)*sin(360/n) mit (360/n)*(n/360) erweiterst - das darfst Du, weil dieses Produkt 1 ergibt und somit nichts verändert - kannst Du (n/2) gegen (360/n) kürzen, was 180 ergibt.

Nun hast Du 180*sin(360/n)*(n/360). Geht n gegen unendlich, dann geht 360/n gegen Null. Wenn Du nun 360/n durch z ersetzt und z gegen Null betrachtest, wird sin(z)*(1/z) 1 (für z gegen Null, also für n gegen unendlich), den Beweis dafür findest Du hier:

https://www.youtube.com/watch?v=DVDKCq337So

Dann aber bleibt nur 180° übrig, was im Bogenmaß dasselbe ist wie π.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
23.11.2015, 21:48

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Teile ein Kreis in 16 Dreiecke, das 16. Dreieck nochmal zerteilen. Dann Dreiecke nebeneinander anordnen sodass auf eine Spitze die Grundseite folgt, also ^-^ quasi (^= Spitze, -= Grundseite)
Das macht dann ein Rechteck, die Breite ist der halbe Umfang und die Höhe ist der Radius.
Flächeninhalt: U/2 * r
U= 2Pi*r u/2=pi *r
Also pi *r * r = pi *r^2

Je öfter du den Kreis in Dreiecke teilst, desto näher ist die Figur ein Rechteck, aber 16 Teile reichen schon.

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