Weshalb ist die Ableitung von e^x auch e^x?

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4 Antworten

Dafür musst du die Ableitung direkt berechnen:

f'(x) = lim (h->0) (f(x+h)-f(x))/h

f'(x) = lim(h->0) (e^(x+h)-e^x)/h

f'(x) = lim(h->0) (e^x*e^h - e^x)/h

f'(x) = lim(h->0) e^x * (e^h-1)/h

Man sieht somit:

f'(x) = e^x * lim(h->0) (e^h - 1)/h

Weil lim(h->0)(e^h - 1)/h konstant ist kann man auch einfach nur c schreiben:

f'(x) = e^x*c

c können wir jetzt getrennt betrachten:

ŵenn wir jetzt also fordern dass:

f'(0) = 1 = e^0*c ist dann muss c gleich 1 sein.

Damit hast du die Ableitung:

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

Zur Forderung von f'(0) = 1 kann man sich die Exponentialfunktion ansehen und zwar wird man erkennen dass die Gerade g(x) = x+1 die Exponentialfunktion bei x = 0 schneidet und somit sieht man dass f'(0) tatsächlich 1 ist.

Das ist jetzt kein genauer Mathematischer Beweis aber anschaulich, wie man darauf kommt.

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Man kann fragen "Welche Funktion ist identisch mit der Funktion ihrer ersten Ableitung ?"

f(x) = f´(x)

f(0)=1

a+bx+cx²+dx³+ex⁴+...=b+2cx+3dx²+4ex³+...

Wegen f(0)=1 ist a=1

Koeffizientenvergleich durchführen.

b = a

2c = b

3d = c

4e = d

Daraus folgt

a=1

b=1

c=1/2

d=1/6

e=1/24

Also

f(x)=1+x+(1/2)x²+(1/6)x³+(1/24)x⁴+...

Wenn man das fortführt, dann identifiziert sich diese Reihe als die Exponentialfunktion.

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Das ist genau ihre Existenzberechtigung: Die e-Funktion ist die Funktion, bei der Steigung und Funktionswert übereinstimmen!

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Stell die vor dem x eine 1 vor wenn du ableitest fällt das x weg und die 1 bleibt. E bleibt beim ableiten gleich also hast du 1×e^x stehen und das ist logischerweise immer noch e hoch x

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Kommentar von Tannibi
21.06.2016, 16:27

E bleibt beim ableiten gleich

Du beweist da etwas, das du hier behauptest.

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Kommentar von Dellila
21.06.2016, 16:28

Aber e steht ja für eine Zahl und zum Beispiel gibt 2^x abgeleitet auch nicht 2^x

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Kommentar von varlog
21.06.2016, 16:28
E bleibt beim ableiten gleich

Und Dellila's Frage ist genau "Warum".

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