Wer kann mir in Mathe helfen,ist sehr wichtig(10.Klasse)?

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Hallo anonymspz

Für Oberfläche O und Volumen V der genannten Körper Pyramide, Kegel, Kugel gibt es Formeln (im Mathebuch, in einer Formelsammlung, im Internet), in denen der rechnerische Zusammenhang von Oberfläche und Volumen zu anderen Größen wie Radius r, Höhe h, Grundfäche A usw. angegeben ist.

Diese Formeln muss man auswendig können und man muss sie entsprechend dem, was gegeben ist, und dem, was gesucht wird, umstellen können.

Beispiel: Welchen Radius r (Durchmesser d) hat eine Kugel mit der Oberfläche 1256,64 cm²? Hier braucht man die Formel für die Oberfläche O der Kugel, nämlich
O = 4*pi*r².
Da r gesucht ist, muss man umformen nach r und erhält:
r² = O/(4*pi) und daraus
r = Wurzel(O/(4*pi)
Nun muss man die gegebenen/bekannten Größen einsetzen:
r = Wurzel(1256,64cm²/(4*3,14159)) = Wurzel(100cm²) = 10cm
Der Durchmesser d = 2r ist dann d = 20cm.

Bei zusammengesetzten Körpern, z.B. ein Würfel, auf dem eine Pyramide als "Hut" oder "Dach" aufgesetzt ist, ist das gesamte Volumen gleich der Summe der einzelnen Volumina, aber die gesamte Oberfläche kleiner als die Summe der  Oberflächen der einzelnen Körper, weil die Oberflächen, mit denen sie sich berühren, ja keine Oberflächen des Gesamtkörpers mehr sind. Diese Berührflächen muss man dann abziehen. Im Beispiel muss man also von der Würfelfläche die quadratische Fläche abziehen, die von der Pyramide bedeckt wird, und von der Oberfläche der Pyramide muss man genauso die quadratische Grundfläche abziehen, mit der sie auf dem Würfel aufliegt.

Bei der Pyramide muss man anhand der Formeln den Zusammenhang zwischen Höhe (von der Spitze senkrecht zur Grundfläche), der Seitenhöhe (von der Spitze senkrecht zur Seite (Außenkante) der Grundfläche) usw. wissen. Also Formeln und Zeichnung im Buch gründlich anschauen und verstehen. Höhe, Seitenhöhe und die Verbindung der Fußpunkte beider Höhen bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in dem man den Satz von Pythagoras anwenden kann, um aus bekannten Größen die unbekannte Größe zu berechnen.

Wichtig ist noch zu wissen, dass sich bei Vergrößerungen/Verkleinerungen Längen proportional zum Vergrößerungsfaktor ändern, Flächen proportional zum Quadrat des Vergrößerungsfaktors und Volumina proportional zur dritten Potenz des Vergrößerungsfaktors.

Beispiel: Gegeben sind zwei Körper, z.B. ein Würfel mit der Kantenlänge 10cm und eine Kugel mit dem Durchmesser 10cm.

Nun vergrößert man die Kantenlänge des Würfels und den Durchmesser der Kugel auf 15cm. Wie vergrößern sich dann die Oberflächen und die Volumina der beiden Körper? Der Vergrößerungsfaktor ist hier 15cm/10cm = 1,5, also vergrößern sich die Oberflächen um den Faktor 1,5² = 1,5 * 1,5 = 2,25 und die Volumina um den Faktor 1,5³ = 1,5 * 1,5 * 1,5 = 3,375.
Das Volumen der Kugel mit 15cm Durchmesser ist also 3,375 mal so groß wie das Volumen der Kugel mit 10cm Durchmesser. Bei gleichem Material wäre damit die Kugel mit dem anderthalb mal größeren Durchmesser mehr als dreimal so schwer wie die kleinere Kugel.

Viel Erfolg wünscht HEWKLDOe.

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