Wer kann mir helfen die Aufgabe zu beweisen?

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2 Antworten

x = y^2, x = 1 mod 2
dann gilt y = 1 mod 2, sonst gölte y = 0 mod 2 und damit x=y^2 = 0^2=0 mod 2. Also y ungerade.

Darum y=1 oder 3 oder 5 oder 7 mod 8; also y=+-1 oder +-3 mod 8. Darum x=y^2 = 1^2 oder 3^2 = 1 oder 9 = 1 oder 1 = 1 mod 8.

Darum ist jede ungerade Quadratzahl gleich 1 modulo 8.

kreisfoermig 31.10.2016, 09:12

Ich schreibe das hier ordentlicher auf:

Behauptung. Sei x∈ℕ eine ungerade Quadratzahl.
Dann gilt x≣1 mod 8.

Beweis. Da x eine Quadratzahl ist, existiert ein y∈ℕ mit x=y². Da x ungerade ist, ist auch y ungerade. (Denn ansonsten wäre y gerade und damit ebenfalls y·y(=y²=x), welches ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.)

Da y ungerade ist gilt modulo 8:

y ≣ 1; 3; 5; oder 7 mod 8
also y ≣ 1; 3; -3; oder -1 mod 8
also y ≣ ±1 oder ±3 mod 8

Daraus ergibt sich

x=y² ≣ (±1)²=1 bzw. (±3)²=9≣1 mod 8

In jedem Falle gilt also x≣1 mod 8.                                           QED.

Anmerkung. Ich hätte genauso gut den einen Schritt weglassen können und gezeigt, dass y² ≣ 1²; 3²; 5²; bzw. 7² = 1; 9; 25; bzw. 49 = 1; 8+1; 8·3+1; bzw. 8·6+1 ≣ 1; 1; 1 bzw. 1 mod 8. Ich reduzierte 5 auf -3 und 7 auf -1 mod 8, bloß um den Rechenaufwand zu reduzieren.

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