Wenn (v,w,x,y) eine Basis von V ist, ..?

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1 Antwort

sehr gern.

Zunächst mal hast du einen Fehler unter der Annahme.

Es macht kein Sinn a,b,c = 0 direkt anzunehmen. Das ist ja das was du rauskriegen sollst...

Also wenn (a+2b+2c)v+(-a-b-2c)w+(-a-b-c)x = 0 (soweit sehr gut gemacht)
Dann haben wir das Gleichungssystem

a+2b+2c = 0
-a-b-2c = 0
-a-b-c = 0

wenn man das löst muss man dann a,b,c = 0 raus kriegen.
Wenn man das raus hat hat man zumindest schonmal die lineare Unabhängigkeit gezeigt, damit Dimension des Vektorraums, welches durch 
(v-w-x, 2v-w-x, 2v-2w-x) aufgespannt ist = 3

Darauf gehe ich in meinen ersten Kommentar ein und mache nun erstmal weiter:

offensichtlich ist der aufgespannte Vektorraum auf jeden Fall ein Unterraum von V, da alle drei Vektoren linearkombinationen der Basenvektoren sind, damit innerhalb von V liegen.

Wenn du nun weisst, dass 3 Vektoren innerhalb eines 3dimensionalen Raums linear unabhängig sind, dann biste im Prinzip schon fertig.
Ein 3 dimensionaler Vektorraum innerhalb eines 3 dimensionalen Vektorraums ist der Raum selbst.

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Kommentar von DinoMath
17.05.2017, 23:00

Statt das Gleichungssystem zu lösen schreibe ich sie einfach als Matrix auf und prüfe ob Rang = 3, weil dann gibts nur den trivialen Kern:

Rang(
1 2 2
-1 -1 -2
-1 -1 -1
)

=

Rang(
1 2 2
0 1 0 Zeile zwei plus Zeile eins
0 0 1 Zeile drei minus Zeile zwei
)

= 3

Also passt auch.

qed, danke für die Eigenleistung, so hilft man gern.

Wenn jetzt noch nicht alles klar ist, frag ruhig, ich versuch alles zu erklären.

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