Wenn man eine Kugel mit gegebenem Volumen und Masse auf eine bestimmte Weise zerlegt und wieder zusammenfügt, entstehen daraus 2 Kugeln mit der urspr. Masse?

9 Antworten

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  Kopf schüttelnd habe ich die vorstehenden Antworten zum Banach-Tarski-Paradox ( BTP ) durchgelesen. Lass mal den Experten ran; von mir bekommst du eine logische Erklärung - versprochen. Zunächst mal müsstest du dich auf die ===> Lebesgue ===> Maßteorie einlassen, deren Axiome alles andere sind als leicht verständlich. Onkel Lebesgue hat sich aber echt Mühe gegeben; ihm geht es darum, den naiven Begriff vom " Auslitern " einer Menge in der Matematik möglichst robust abzubilden. Die naiven Konzepte des Litermaßes wollen wir alle in der exakten Matematik wieder finden; und es sollen auch nur plausible Aussagen dabei heraus kommen.

  Sei M eine ===> messbare Menge mit Maß V ( M )  ( V wie Volumen ) Unter einer Partition von M wollen wir eine Familie von Teilmengen von M verstehen

    M1  ,  M2  ,  M3  ,  ...  ,  m  (  n  )  ,  ...       (  1.1  )

 1)   Die Vereinigung aller M ( i ) soll wieder M ergeben.

  2) Der Durchschnitt von zwei Mengen, z.B. M100 und M4 711 , ist immer leer.

   ( Das erinnert stark an Gleichheitsbeziehungen und ihre Klassen. )

   Dann kannst du im Rahmen der Lebesgueteorie die äußerst vernünftige Formel herleiten

           V  (  M  )  =  SUMME  V  [  M  (  i  )  ]        (  1.2  )

   In der Tat ist das BTP kontra-intuitiv; was ist  da los? Ich schick aber erst mal ab,  weil dieser Editor so instabil ist.  Es folgt aber noch ein Teil 2 ; versprochen.

  Bevor ich auf dieses BTP eingehe, sei doch betont, dass die Wurzeln der Lebesgueteorie  bis ins Mittelalter zurück reichen.

  " Stell dir eine Strecke von einem Meter Länge vor. Welche Länge hat ein einzelner Punkt P dieser Strecke? Offenbar Null.  Also addiere ich die Längen all dieser Punkte

    0  +  0  +  0  +  0  ...  =  1  (  ???  )           (  2.1  )     "

   Lebesgue war der erste, der auf dieses " Punktparadox "  eine vernünftige Antwort fand.

   Die Partition bzw. Summe in ( 1.1;2 ) muss auch keines Wegs endlich sein; auch unendliche Reihen in ( 1.2 ) sind zugelassen voraus gesetzt, dass diese nur konvergieren. Wie ich schon sagte; Lebesgue ist keines Wegs überlnehmerisch.

   Ein ganz wichtiges Konzept, mit dem du dich mal beschäftigen solltest, ist die ===> Nullmenge . Wie schon das Wort sagt, ist das eine Menge vom Maß, also Länge bzw. Volumen Null. Genauer

   " Eine Nullmenge besitzt eine infinitesimale ===> Überdeckung. "

     Folgende Teoreme

   " Eine Menge.die nur aus einem Punkt besteht, ist eine Nullmenge. "

   " Jede ===> abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist selbst wieder abzählbar. "

   " Jede abzählbare Punktmenge ist eine Nullmenge. "

  Du siehst: Jenes Paradox ( 2.1 ) ist so verkehrt nicht; so lange du dich auf abzählbar viele Punkte beschränkst, ist ( 2.1 ) sogar im Einklang mit ( 1.2 ) Da du ja nur Nullmengen aufsummierst, bleibt das Ergebnis immer Null.

   Insbesondere die rationalen Zahlen |Q sind abzählbar;  Georg Cantor hat dies bewiesen mittels des ===> ersten Cantorschen Diagonalbeweises ( CDB1 ) Der CDB1 gibt dir sogar eine Reihenfolge, in der du die rationalen Zwischenpunkte des ( 0 ; 1 ) - Intervalls zu ziehen hast. Wie gesagt - die Summe ihrer Maße ist Null .

   Aber das reelle ( 0 ; 1 ) - Intervall ist ÜBERabzählbar.  Unendliche Reihe ja. Aber was, bitte schön, soll denn eine Reihe aus überabzählbar vielen Gliedern? Bei einer Reihe zählst du immer ab erstes, zweites, drittes ... Glied.

     Dass das ( reelle ) Intervall nicht Länge Null hat, sondern Länge Eins, steht also gar nicht im Widerspruch zu ( 1.2 ) Viel mehr findet Reihe ( 1.2 ) auf überabzählbare Intervalle gar keine Anwendung. Und das BTP hat mit einem ganz analogen Missverständnis zu tun.

     Ich will es jetzt nicht zu ausführlich machen; was ich hier lesen musste, das BTP habe etwas mit " Fraktalen " zu tun, ist also sowas von Verkehrt - soll ich darauf auch noch eingehen?

    In der Matematik ist es wie im Leben. Man fragt immer, vererbt eine Obermenge ihre Eigenschaften an ihre Teilmengen? Wenn M messbar ist, trifft fas dann auch auf ihre Untermengen zu? Intuitiv würde man dies bejahen; ich schicke jedoch noch eine Ergänzung Teil 3 , wo wir eine nicht messbare Teilmenge des Einheitskreises angeben werden; eine Untermenge, die keine Länge hat.

   Ich möchte ( 1.2 ) sogar noch verschärfen. Angenommen zu zerlegst die Einheitskugel K in eine MESSBARE Partition K1;2;3;4;5 .  Wenn du diese fünf Teilmengen elementaren Transformationen unterwirfst wie Drehung, Spiegelung und Translation, gilt natürlich

   V  (  K  )  =  V  (  K1  )  +  ...  +  V  (  K5  )   (  2.2  )

  Aber so bald diese fünf Teilmengen nicht mehr messbar sind, KANNST DU DICH NICHT MEHR AUF ( 1.2 ) berufen - und das ist die Situation hinter dem BTP .

   Es folgt wie gesagt noch ein Teil 3 .

 

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@gilgamesch4711

Also nochmal; eine Kugel wird aufgeteilt in eine Partition aus fünf ( nicht messbaren ) Mengen . Und diese fünf Mengen, wieder zur Kugel zusammen gesetzt, ergeben eine Kugel mit doppeltem ( bzw. halbem ) Volumen.Wir wissen heute: Auf dem Wege der ===> konstruktiven Matematik ist so etwas gar nicht möglich; unter Konstruktiv will ich verstehen, dass du Punkte konstruierst, die bestimmte Formeln befriedigen. Auch Fraktale wie z.B. die Mandelbrotmenge sind ja letzten Endes etwas Konstruiertes.Statt Konstruiert könntest du eben so gut sagen Berechenbar mittels Computerprogramme. Wir wissen heute, dass es kein Programm gibt, das dir die Banach-Tarski-Zerlegung einer Kugel durchführen würde.Das Ganze beruht letzten Endes auf dem ===> Auswahlaxiom ( AA ) einer rein begrifflichen Aussage, dass etwas möglich sein soll, ohne dass du gesagt kriegst wie.Ich selbst formuliere das AA immer gern in der anschaulichen Form, aus jeder Urne darfst du eine Kugel ziehen. Genauer; sei M eine BELIEBIGE Menge und 2 ^ M ihre ===> Potenzmenge . Dann definiere ich als eigentliche Potenzmenge

     P  (  M  )  :=  M  \  {  }       ( 3.1 )  

Also die leere Menge intressiert nicht. Unter den Urnen U von M will ich genau die Elemente von P ( M ) verstehen, sprich: die Teilmengen von M . Das AA besagt nun, es gibt eine Abbildung a ; a wie Auswahl

     a  :  P  (  M  )  ===>  M       ( 3.2a )

     U  ===>  x  €  U         ( 3.2b )

Schon im 19. Jh. zeichnete sich ab: Das AA ist ein Teufelspakt, ein Blankoscheck bzw. eine Schablone zum Falschgeld Drucken. Für abzählbare Mengen folgt es nämlich durch vollständige Induktion; auch für die Menge aller beschränkten Intervalle gilt es ( Wähle den Mittelpunkt ) Aber bereits bei der Menge |R tauchten erste Zweifel auf, gar nicht zu reden von über-über-überabzählbaren Mengen ...Ich zitiere das Fischerlexikon Matematik; dort findet sich eine elementare Beschreibung, wie du am Einheitskreis eine nicht messbare Menge erhältst.

   Ich schick wieder ab; diese ständigen Systemabstürze sind eine wahre Katastrofe.  Ständig neu anmelden; und ich darf nicht mehr in die Frage rein.

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@gilgamesch4711

Vielen, vielen Dank für deine Mühen!  Dafür bekommst den Stern. =)

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"Zunächst mal müsstest du dich auf die ===> Lebesgue ===> Maßteorie einlassen,"

Auf gar keinen Fall! 

Wenn man sich auf jede absurde Theorie einläßt, glaubt man am Ende sogar noch an Gott, den Weihnachtsmann, Osterhasen, Zombies und alle andere skurilen Dinge.

Und am Ende glaubt man noch so einen Blödsinn, das man mit Hilfe der Mathematik aus 1=2 machen kann.

Die Realität hält sich einfach nicht an Theorien. Sie existiert einfach.

Man kann sie am besten noch mit Vernunft erfassen.

Gruß Jake

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@Jake1865

Im übrigen finde ich die Erklärungen von Gilgamesch aber wirklich gut gelungen und sogar verständlich rübergebracht.

Dafür ein Danke

Gruß Jake

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Dieses Pardoxon ist keins mehr, wenn man peinlich genau beachtet, daß:

abzählbar unendlich etwas anderes ist als überabzählbar unendlich.

Die Menge aller Punkte einer endlichen Fläche oder eines endlichen Körpers sind überabzählbar unendlich (Kardinalität der reellen Zahlen)

Ein Zerlegungsalgorithmus - selbst wenn er unendlich lang läuft - kann aber nur maximal abzählbar endlich viele Teilschritte beinhalten (Kardinalität der natürlichen Zahlen).

Hallo errwisch

sowas mit wirklichen (aus Atomen bestehenden und mit Masse versehenen) Kugeln zu realisieren, ist definitiv unmöglich.

Die Punktmengen, in welche man da eine Kugel zerlegt, sind unendlich komplexe fraktale Mengen. Sie sind auch im mathematischen Sinne nicht "messbar" , d.h. man kann den benötigten Teilmengen nicht auf vernünftige ("konsistente") Weise Teilvolumina zuordnen, die man dann z.B. wieder addieren könnte.

Zum Vergleich gibt es auf einfacherer Stufe mögliche Zerlegungen etwa der Mengen Z der ganzen Zahlen oder der Menge Q der rationalen Zahlen oder z.B. (damit das Ganze nirgends in die Unendlichkeit) der Menge aller Punkte  (x=cos(phi) | y = sin(phi))  auf dem Einheitskreis in der x-y-Ebene, für welche der Winkel phi ein rationales Vielfaches von π ist. Auch da kann man zeigen, dass gewisse echte Teilmengen einer solchen Menge in bestimmtem Sinne kongruent zur gesamten Menge sind. 

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