Wenn Integral = 0, ist f(x)=0?

3 Antworten

Deine Aussage ist fast richtig! Dass die Funktion f(x) = 0 ist, kann sein, muss aber nicht unbedingt. Bei Integralen im zweidimensionalen im kartesischen Koordinatensystem berechnet man typischerweise die Flächendifferenz der Fläche einer bestimmten Funktion oberhalb der x-Achse minus der Fläche dieser Funktion unterhalb der x-Achse, wenn in positiver x-Richtung integriert wird.

Ein Beispiel für F(x) = 0 für eine Funktion die nicht gleich f(x) = 0 ist, wäre f(x) = x - 1 mit Intervallgrenzen a = 0 und b = 2. Man könnte hier beliebige Intervallgrenzen wählen, solange diese den selben Abstand zum Punkt x = 1 haben. 

Ich hoffe das war verständlich. Liebe Grüße!

Mal abgesehen von dem Fall, den MetalMonkey und Peter42 angesprochen haben:

f muss keine stetige Funktion sein. Möglicherweise ist f(n) = 1 für alle natürlichen Zahlen n und f(x) = 0 für alle restlichen reellen Zahlen x. 

Dann wäre der Graph von f fast die x-Achse; nur in regelmäßigen Abständen würde der Graph einen Sprung von  0 nach 1 und zurück machen.

Die Fläche unter dem Graphen ist aber trotzdem 0, denn die "Flächen" unter den einzelnen Punkten sind nur eindimensionale Gebilde, haben also Flächeninhalt 0.

Eine Funktion muss stetig sein, um sie integrieren zu können.

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@Roderic

Naja...hängt ab wie du "integrierbar" definierst. Die Heavyside Funktion ist bei x=0 unstetig aber Riemann-Integrierbar über R

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@Roderic

Wenn du den Begriff des Lebesgue-Integral kennen lernen wirst, dann siehst du das Stetigkeit eine hinreichende aber nicht zwingende Vorausetzung ist. Eine Funktion muss nur messbar sein, damit man sie integrieren kann (So fern das Integral des positiv und negativ Anteil existiert).

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eine Sinusfunktion in den Grenzen 0 und 2pi hat auch das Integral = 0, ist aber meistens nicht = 0.

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