Wenn es einen "Würfel" mit 100 Seiten gäbe, wie oft müsste man würfeln um jede Zahl einmal zu sehen?

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6 Antworten

Hier kann man meines Erachtens die Siebformel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden, da es darum geht, die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von Ereignissen zu berechnen und die Wahrscheinlichkeit der Schnitt-Ereignisse leicht zu berechnen sind. Die Wahrscheinlickeit, dass eine bestimmte Seite bei k Würfen nicht kommt ist q^k mit q = 99/100 . Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 bestimmte Seiten nicht kommen ist (98/100)^k ; usw.

Wenn ich richtig gerechnet habe, ergibt die Siebformel dann für die Wahrscheinlichkeit P, dass bei k Würfen alle 100 Seiten mindestens einmal kommen, wobei natürlich k >= 100 vorausgesetzt wird:

Summe über (-1)^j * (100 über j) * (1 - j/100)^k , wobei sich die Summe über j=0 bis 100 erstreckt.

Ich habe diese Formel einmal ausgewertet für verschiedene k:
k=100 : gesuchte Wahrscheinlichkeit P ca. 10^-42
k=200: gesuchte Wahrscheinlichkeit P ca. 2 * 10^-8
k=1000: gesuchte Wahrscheinlichkeit P ca. 99,57%
k=1500: gesuchte Wahrscheinlichkeit P ca. 99,9972%
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Seiten mindestens einmal vorkommen, konvergiert nun schnell auf 1 zu (ohne diese natürlich je zu erreichen).

Man kann also sagen, dass es noch bei 200 Würfen sehr unwahrscheinlich ist, dass alle Seiten erscheinen, während bei 1000 Würfen es sehr wahrscheinlich ist, dass alle Seiten erscheinen.

Vielen Dank für den Stern.

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Mit absoluter Sicherheit (100,000 %) ist es nie gegeben, dass bei einer Ziehung von 1 aus 100 jeder Einzelwert nach einer bestimmten Anzahl von Versuchen mindestens einmal drangewesen ist. Es könnte theoretisch sein, dass es einen Punktwert gibt, der sich "auf ewig" verweigert zu fallen, zumindest für ein paar Tausend Würfe.

Man nähert sich in der Wahrscheinlichkeit nur immer mehr den 100 % an. Man müsste also z.B. fragen: Nach wievielen Versuchen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle Zahlen mindestens einmal drangekommen sind, 99 % (oder irgendeine andere Zahl unter 100 %).

Sicher ist nur, dass die Wahrscheinlichkeit erst ab 100 Würfen anfängt über 0,000 % zu steigen (logisch).

Es gibt natürlich eine mathematische Lösung für ein angegebenes Wahrscheinlichkeitsniveau, nur ist diese Lösung nicht durch eine einfache Anfängerformel gegeben. Wenn doch, lasse ich mich gerne eines Besseren belehren.

Ich habe nach der Formel, die ich aufgestellt habe, berechnet, ab wievielen Würfen 99% erreicht werden. Es sind 916 Würfe.

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Vielen Dank für eure Antworten. Ich hatte mir schon gedacht dass es dafür kaum eine vorhersehbare Anzahl an Würfen gibt. Somit hat sich meine zweite Frage erledigt weil diese dann wohl vollständig den Rahmen sprengen würde. Ich hätte dann gefragt wie es sich verhalten würde wenn ein "Gewinn" pro Runde auf einer von den 100 Zahlen festgemacht wird. Der sich aber bei jeder Runde ändert. Das heißt....Bei der ersten Runde wäre er z.B. auf der 10, bei der zweiten auf der 3, usw usw :-)) Also es gibt Dinge die läßt man einfach auf sich zukommen :-)

das lässt sich nicht sagen. Mindestens 100 mal, aber der max. wert lässt sich einfach nicht berechnen, die warscheinlichkeit ist zwar z.b. unendloch klein, aber es könnte auch unendlich lange dauern und nie eintreten.

Wenn Du meinst mit Sicherhei,t ist die Zahl unendlich, ganz eindeutig.

Hallo,

also das ist doch recht einfach zu berechnen,

Nimm einen normalen Würfel und mache eine Testrunde

  • Wie oft musst Du bei 6 Seiten würfeln um jede Zahl einmal zu sehen ?

  • Diesen Versuch 10 Mal wiederholen,

  • Jetzt hast Du 10 Ergebnisse diese werden zusammen addiert ( gezählt) und durch 60 geteilt ( anzahl der Versuche und Anzahl der Seiten am Würfel)

alles Verstanden ?

Nun das ganze noch einmal mit 100 multiplizieren (mal nehmen )

= Ergebnis perfekt

Viel Spaß

Frank

der berechnete Wert wäre aber keine W-keit

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Du bist kein Mathematiker. Es gibt nämlich keine feste Garantieanzahl von Würfen, die ausreichen würden (siehe meine Antwort).

Es gibt ja schließlich auch Zahlenkombinationen beim Lotto (6 aus 49), die noch nie vorgekommen sind und in der Geschichte der Menschheit nie vorkommen werden.

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@Paguangare

und in der Geschichte der Menschheit nie vorkommen werden

wie kommst du darauf?

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@Kungfukuh

DIe Anzahl der möglichen Kombinationen: 49! / 6! * 43! = 13.983.816 also knapp 14 Millionen.

Gehen wir jetzt mal davon aus, dass jeden Tag eine Lottoziehung stattfindet, wären das immerhin 38.311,82466 Jahre die man benötigen würde, um alle Kombinationen zu haben.

Ergo, volkommen unrealistisch das die Menschheit da noch lebt, oder wenn doch, dass die Deutschen da noch Lotto spielen werden ;)

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