Wenn eine Matrix mit 2 identischen Zeilen gegeben ist, ist dann m=m-1?

2 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Deine Frage ist zwar ein bisschen unordentlich formuliert, und es ist nicht klar, wofür WA steht, dennoch glaube ich, z. T. deine Frage verstanden zu haben.

Seien m, n ∈ N mit m, n ≥ 1. Sei A eine Matrix in F^(m x n), wobei F ein zugrunde liegender Körper ist. Also A = [v⁽¹⁾; v⁽²⁾; …; v⁽ⁿ⁾], wobei jede Spalte (= ein Vektor) in R^m liegt. Es folgt

  • Bild A = {A x : xF^n} = Span{v⁽¹⁾; v⁽²⁾; …; v⁽ⁿ⁾}.

Na ja. Wenn zwei Zeilen gleich wären, würde dass bedeuten, dass die Vektoren effektiv in F^(m–1) lägen, und entsprechend höchstens m–1 der Vektoren v⁽¹⁾; v⁽²⁾; …; v⁽ⁿ⁾ ein linear unabhängiges Erzeugendensystem bilden könnten. In diesem Fall gilt: span(A) = dim(Bild(A)) = dim{v⁽¹⁾; v⁽²⁾; …; v⁽ⁿ⁾} ≤ Min{n; m–1}. Sonst wäre die obere Schranke gleich Min{n; m}.

Sorry, war wirklich blöd formuliert.

Gegeben ist die Matrix A mit 5 Spalten und 4 Zeilen. 2 Zeilen sind aber komplett identisch. Bedeutet das, dass die Bildung von 4 Einheitsvektoren unmöglich ist? Es gibt ja höchstens so viele Einheitsvektoren wie es Zeilen gibt. Und wenn zwei Zeilen identisch sind, frage ich mich, ob überhaupt noch 4 Einheitsvektoren möglich sind.

Zum anderen muss ich untersuchen, ob die Matrix surjektiv ist. Das heißt ja Zeilen = Rang, sonst nicht surjektiv. Als Antwort bekomme ich bei der Rechnung also 3 Einheitsvektoren raus und eine Nullzeile. Aber dadurch, dass am Anfang die zwei Zeilen gleich waren, frage ich mich ob es dann nur als 3 Zeilen zählt? Und damit wär die Matrix ja surjektiv.

Ich hoffe, es ist jetzt besser verständlich was ich meine.

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@Zero0711

Gegeben ist die Matrix A mit 5 Spalten und 4 Zeilen. 2 Zeilen sind aber komplett identisch.

Also A = [v⁽¹⁾; v⁽²⁾; …; v⁽ⁿ⁾] = [z⁽¹⁾; z⁽²⁾; …; z⁽ᵐ⁾] ᵀ für m=4 und n=5, wobei die v Vektoren in Fᵐ und die z Vektoren in Fⁿ liegen. Davon sind zwei der z Vektoren gleich. Uns interessieren die Zeilen aber nicht. Ich erwähne die, nur der Vollständigkeit halber und um zu äußern, dass man sich gar nicht mit diesen Zeilen berechnen muss.

Bedeutet das, dass die Bildung von 4 Einheitsvektoren unmöglich ist? Es gibt ja höchstens so viele Einheitsvektoren wie es Zeilen gibt. Und wenn zwei Zeilen identisch sind, frage ich mich, ob überhaupt noch 4 Einheitsvektoren möglich sind.

Na ja, Rang A = dim Bild A = dim Span {v⁽¹⁾; v⁽²⁾; …; v⁽ⁿ⁾} ≤ Min{n; d}, wobei d = „effektive“ Dimension des Vektorraums, in dem die v Vektoren sich befinden, dieser Raum ist, da zwei Zeilen gleich sind — sprich, es gibt j≠j´, so dass die j´-Koordinate jedes Vektors seiner j-Koordinate gleich ist — ist diese effektive Dimension gleich m–1. Deshalb Rang A ≤ m–1 = 3.

Zum anderen muss ich untersuchen, ob die Matrix surjektiv ist.

Ja, das hast du eben erreicht: dim Bild A ≤ m–1 < m = dim Fᵐ, deshalbt Bild AFᵐ, was bedeutet, A ist nicht surjektiv.

Nochmals:

  • Schritt 1. Berechne dim Bild A
    • dabei wird die Tatsache verwendet, dass zwei Zeilen gleich sind. Danach gebraucht man diese Tatsache nicht mehr.
  • Schritt 2. Man sagt etwas über Surjektivität vermittels dim Bild A.
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also beschreibe doch mal genau was du überhaupt machen willst.... willst du die basis der abbildungsmatrix bestimmen? wenn du das meinst, dann fasst du ja die spalten der matrix als bild der basisvektoren unter der abbildung f auf. dabei denke ich, dass doch nur etwas schief geht, wenn diese bilder, also die spalten deiner matrix gleich sind. dann wäre es nämlich so, dass zwei verschiedene einheitsvektoren auf dasselbe abbilden... wobei ich garnicht weiß , ob das denn schlimm wäre

sry dafür dass ich keine ahnung habe :D

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