Wendepunkte hinreichende Bedingung e-Funktionen?

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4 Antworten

y = f(x) = (4 * x + 4) * e ^ (-0.5 * x)

Das kannst du verallgemeinern -->

y = f(x) = (m * x + b) * e ^ (u * x + v)

Die Ableitungen davon lauten dann -->

y´ = f´(x) = (m * u * x + b * u + m) * e ^ (u * x + v)

y´´ = f´(x) = (m * u ^ 2 * x + b * u ^ 2 + m * u + m * u) * e ^ (u * x + v)

Das letztere kannst du noch vereinfachen -->

y´´ = f´´(x) = ((m * x + b) * u ^ 2 + 2 * m * u) * e ^ (u * x + v)

y´´´ = f´´´(x) = (m * u ^ 3 * x + b * u ^ 3 + m * u ^ 2 + m * u ^ 2 + m * u ^ 2) * e ^ (u * x + v)

Das letztere kannst du auch wieder vereinfachen -->

y´´´ = f´´´(x) = ((m * x + b) * u ^ 3 + 3 * m * u ^ 2) * e ^ (u * x + v)

Nun einfach die Parameter aus deiner Funktion in die allgemeine Form der Ableitungen einsetzen -->

y = f(x) = (4 * x + 4) * e ^ (-0.5 * x)

m = 4 und b = 4 und u = -0.5 und v = 0

y´ = (4 * -0.5 * x + 4 * -0.5 + 4) * e ^ (-0.5 * x + 0)

y´ = (- 2 * x + 2) * e ^ (-0.5) * x

y´´ = ((4 * x + 4) * (-0.5) ^ 2 + 2 * 4 * (-0.5)) * e ^ (-0.5 * x + 0)

y´´ = (x - 3) * e ^ (-0.5 * x)

Bei der zweiten Ableitung kann man die Nullstelle aufgrund des Satz vom Nullprodukt die Nullstelle direkt ablesen.

x = 3

Reine Exponentialfunktionen haben keine Nullstellen, also sind keine weiteren Nullstellen der zweiten Ableitung zu erwarten.

Nun x = 3 und die Parameter in die allgemeine Form der dritten Ableitung einsetzen -->

y´´´(3) = f´´´(3) = ((4 * 3 + 4) * (-0.5) ^ 3 + 3 * 4 * (-0.5) ^ 2) * e ^ (-0.5 * 3 + 0)

y´´´(3) = f´´´(3) = 0.22313016014842985

Das ist ungleich Null, also liegt an der Stelle x = 3 tatsächlich eine Wendestelle vor. Du musst dich also leider verrechnet haben, sorry.

Schaue dir die Ableitungen noch mal ganz genau an, du wirst dann hoffentlich das Muster erkennen.

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Kommentar von DepravedGirl
02.03.2017, 21:07

Anmerkung, ich habe deinen Kommentar unter einer anderen Antwort gelesen -->

y´´´ = f´´´(x) = ((m * x + b) * u ^ 3 + 3 * m * u ^ 2) * e ^ (u * x + v)

m = 4 und b = 4 und u = -0.5 und v = 0

y´´´ = f´´´(x) = ((4 * x + 4) * (-0.5) ^ 3 + 3 * 4 * (-0.5) ^ 2) * e ^ (-0.5 * x + 0)

y´´´ = f´´´(x) = (-0.5 * x - 0.5 + 3) * e ^ (-0.5 * x)

y´´´ = f´´´(x) = (-0.5 * x + 2.5) * e ^ (-0.5 * x)

Dein Fehler ist, weil du statt die Zahl 2.5 die Zahl 1.5 in deiner dritten Ableitung stehen hast.

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Was du gelesen hast, ist nicht ganz korrekt. Auch, wenn die dritte Ableitung 0 ist, kann eine Wendestelle existieren.

"Beginnend mit der dritten Ableitung wird die nächste von Null verschiedene Ableitung gesucht, und falls dies eine Ableitung ungerader Ordnung ist, handelt es sich um eine Wendestelle."

Sollte alles erklären.

Viele Grüße

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Kommentar von NkyyNinetyNine
02.03.2017, 19:37

Jup bin ich, die 3. Ableitung ist e^-0,5x * (1,5-0,5x)

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Vorzeichenwechselkriterium?

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