Welches ist die schönste Begründung?

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5 Antworten

aus ln(1/n) / ln a machen wir (ln1 - ln n) / ln a = - ln n / ln a

somit rechts

a^(x +  ln n / ln a) = a^x  • a^(ln n / ln a)

mit a^(ln n / ln a) = n

ergibt sich a^x • n

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Kommentar von DepravedGirl
12.02.2016, 18:10

Recht herzlichen Dank für deine Antwort, das ist die wahrscheinlich perfekteste Herleitung die man haben kann ;-))

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n*a^x = a^(x - ln(1/n)/ln(a) ) 

Fangen wir einfach mal rechts an:

a^(x - ln(1/n)/ln(a) ) = a^( x + ln(n)/ln(a) ) 

= a^x * a^(ln(n)/ln(a)) = a^x * a^(log_a(n))

= n*a^x

Hier war vor allem Folgendes wichtig:

ln(1/n) = - ln(n) = ln( n^(-1))

und 

ln(n)/ln(a) = log_a(n)

a^x = e^(ln(a^x)) = e^(ln(a)*x) = n     II wenn gelten soll a^x = n

Damit folgt durch den ln:

e^(ln(a)*x) = n   II ln(x)

ln(a)*x = ln(n)   II *1/ln(a)

x = ln(n)/ln(a) 

Damit wäre schon mal geklärt wie man auf Logarithmen zu anderen Basen umrechnet. Damit lässt sich dann die linke Seite recht schnell zeigen. Die rechte Seite hingegen ist auch nicht wirklich spannender:

n*a^x = a^(log_a(n)) *a^x = a^( x + log_a(n)) = a^(x + ln(n)/ln(a) )

= a^(x - ln(1/n)/ln(a) )




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Kommentar von DepravedGirl
12.02.2016, 17:51

Recht herzlichen Dank für deine beeindruckende Begründung !

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Exponentialfunktion From y=f(x)= a^x mit a>0 und a ungleich 1

als e-Funktion y= e^x

y1=f1(x)= a^x und y2=f2(x)= b^c beide Funktionen haben den selben Kurvenverlauf ! Also gleichsetzen

y1=y2 ergibt  a^x= b^c logarithmiert ergibt x*Ln (a) = c *Ln(b)

also ist c= x * Ln(a) /Ln(b)

ergibt a^x= b^(Ln(a)/Ln(b) *x

Das Selbe mit y1=n * a^x und y2= a^c gleichgesetzt  n *a^x= a^c

a^x=1/n *a^c logarithmiert  x * Ln(a)= Ln(1/n) + c *Ln(a) ergibt

c * Ln(a) =Ln(1/n) - x *Ln(a) dividiert durch Ln(a) ergibt

c=Ln(1/n) /Ln(a) - x eingesetzt

n * a^x= a^(Ln(1/n)Ln(a) -x)

Rechenregeln siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Logarithmengesetze"

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Kommentar von DepravedGirl
12.02.2016, 19:40

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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Erstmal aufräumen (mit "-ln 1/n = ln n", dann "ln n/ln a = logₐ n"):

    n·a^x = a^(x + logₐ n)

Der Rest ist Potenzrechnen, 6. Klasse.

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Kommentar von DepravedGirl
13.02.2016, 11:39

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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Ich glaube so könnte es gehen ...
Hoffe man kann das lesen

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Kommentar von DepravedGirl
12.02.2016, 18:01

Vielen Dank !!

Ich werde mir das mal näher ansehen, auch wenn es zur Zeit leider einen Bug in der Technik von GF gibt, die es verhindert, dass es anständig angezeigt wird.

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