Welches gleichschenkelige Dreieck mit der schenkellänge s hat den größten Flächeninhalt?

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5 Antworten

Du hast also zwei Schenkel und entweder einen Winkel oder eine zusätzliche Seite.

Dein Flächeninhalt beträgt 1/2 * Grundseite * Höhe
Als Grundseite ist die zusätzliche Seite praktisch und die Höhe kannst du über den Satz des Pythagoras oder sin/cos/tan ausrechnen.

Dann hast du eine Formel mit einem Maximum. Da ist deine Antwort auf das Problem.

s ist gegeben, auch wenn da keine Zahl steht;

A = 1/2 • c • h

Pythagoras im Teildreieck

h² = s² - (c/2)²

dann h in A einsetzen und A ' = 0

usw

Der Winkel zwischen den gleichen Schenkeln sei α, die 3. Seite des Dreiecks 2x und die Gerade, die den Winkel α und die dritte Seite halbiert, die
Höhe h

Du hast jetzt zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten x und h und der Hypotenuse s.

Es gilt sin(α/2) = x/s und cos(α/2) = h/s und Fläche F = 2 • (x • h / 2)

mit x = s•sin(α/2) und h = s•cos(a/2)
sowie sin(x)•cos(x) = (sin(2x))/2 wird

F = s² • sin(α)

Maximalwert:

F’(α) = 0 = s² • cos(α)

>> α = 90° >> rechtwinkliges Dreieck

Hier noch eine Lösung ohne Rechnung:

Das Viereck mit der größten Fläche und vier gleich langen Seiten ist das Quadrat.

Teile das Quadrat diagonal und Du erhältst zwei gleichschenklige Dreiecke mit 90° zwischen den (gleichlangen) Schenkeln.

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