Welche Zahl bezeichnet "Unendlich"?

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10 Antworten

Keine Standard-Zahl, weder eine Natürliche noch eine Rationale, Reelle oder Komplexe Zahl z kann »'Unendlich' bezeichnen«, da es immer

ℕ∋n ≥ |z|

gibt. Allerdings hält die Mathematik Symbole für das Unendliche bereit, da sie immer wieder mit dem Unendlichen konfrontiert wird.

Erweiterte Reelle Zahlen

Das bekannteste Symbol für »Unendlich« ist »∞«. Es ist aber kein Zahlenzeichen in dem Sinne. Dennoch wird es bei den erweiterten Reellen Zahlen, die es in affiner Form als

ℝ̅ = ℝ∪{–∞; +∞}

und in projektiver Form als

ℝ* = ℝ∪{∞}

gibt, wie eine Zahl behandelt. Mit. diesen Unendlichkeiten kann man nicht so rechnen wie mit gewöhnlichen Zahlen um muss sich vor allem hüten, etwa

∞ ∈ ℝ* = 1/0

zu setzen. Durch 0 kann nicht deshalb nicht geteilt werden, weil das unendlich wäre, sondern weil es dank der Eigenschaft der 0 als großem »Plattmacher«, d.h.

0·a = 0 ∀ a ∈ ℝ,

keine Eindeutigkeit gibt und man Unsinn beweisen könnte. Wirkliche Zahlen sind also weder ∞∈ℝ* noch ±∞∈ℝ̅.

Kardinalität

Allerdings treten in der Mathematik Mengen mit unendlich vielen Elementen auf (wie ℕ oder (0,1]⊂ℝ).

Dies erfordert die Erweiterung des Begriffs der »Anzahl der Elemente einer Menge« M auch auf unendlich große Mengen; man spricht von der Mächtigkeit oder Kardinalität card(M) bzw. |M|.

Die Mächtigkeiten lassen sich mit Hilfe von Abbildungen vergleichen:

Eine Abbildung

f: X → Y; x ↦ y

ist eine Relation, bei der jedem x∈X genau ein y∈Y zugeordnet wird.

Ist die Eindeutigkeit umkehrbar, heißt f injektiv.
Ist ganz Y die Wertemenge, heißt f surjektiv.
Ist beides der Fall, heißt f bijektiv. In diesem Fall ist auch

f⁻¹: Y → X; y ↦ x

eine Abbildung.

Seien weiterhin X und Y Mengen; deren Kardinalitäten |X| und |Y| heißen.

Ist |X| > |Y|, so gibt es keine injektiven Abbildungen f:X→Y.
Ist |X| < |Y|, so gibt es keine surjektiven Abbildungen f:x→Y.
Ist |X| = |Y|, so gibt es bijektive Abbildungen f:X→Y.

Sind X und Y endliche Mengen, ist jede injektive Abbildung auch surjektiv und umgekehrt. Bei unendlichen Mengen ist das nicht unbedingt der Fall.

Selbst das beidseitig beschränkte Intervall (0,1] ist übrigens mächtiger als ℕ.

|ℕ| wird auch ℵ₀ genannt. Allerdings ist auch |ℚ|=ℵ₀ und selbst |𝔸|=ℵ₀ (𝔸 ist die Menge aller algebraischen Zahlen, also sogar √2). Die nächstgrößere Kardinalität wird mit ℵ₁ bezeichnet.

Mit ℵ oder auch 𝔠 (für continuum) wird |ℝ| bezeichnet, und die sogenannte Kontinuumshypothese sagt aus, dass 𝔠 = ℵ₁ ist. Sie lässt sich allerdings mit den derzeitigen Axiomen weder beweisen noch widerlegen.

Nichtstandard-Ana-lysis

Nicht zu verwechseln mit ℝ* ist der Körper der hyperreellen Zahlen *ℝ. Er enthält infinitesimale und unendliche Zahlen definieren, sodass eindeutig z.B.

α–α = 0, α/α = 1

gilt. Sie lassen sich über Folgen und bestimmte Auswahlkriterien so definieren, dass die Eindeutigkeit immer gegeben ist.

Es gibt in diesem Rahmen nicht nur »unendlich«, sondern gleichsam viele »unendlich«s, mit denen sich rechnen lässt wie mit gewöhnlichen Reellen Zahlen. Ferner hat das Symbol »≈« eine eindeutigere Bedeutung als üblich, nämlich die, dass sich zwei hyperreelle Zahlen nur um einen infinitesimalen Betrag unterscheiden.

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Gar keine. Das kann man z.B. zeigen am Beispiel der natürlichen Zahlen. Die Menge der natürlichen ist unendlich groß, weil man zu jeder beliebigen natürlichen Zahl 1 dazu addieren kann und man erhält wieder eine natürliche Zahl.

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Unendlich ist de facto gar keine Zahl, weder reell, noch komplex, noch hyperkomplex, noch irgendwas.

Unendlich ist - wenn du so willst - ein Grenzwert oder eine nicht vorstellbare Größe.

Aber eine Zahl wie 2 oder 3 ist Unendlich nicht.

Das Symbol für Unendlich ist die liegende Acht: 

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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SlowPhil 12.10.2016, 06:41

Es gibt schon Unendlichkeiten, die als Zahlen bezeichnet werden (z.B. die Kardinalzahlen), nur dass es dann nicht ein »Unendlich« gibt, sondern viele »Unendlichs«.

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SlowPhil 12.10.2016, 06:48

Unendlich ist - wenn du so willst - ein Grenzwert oder eine nicht vorstellbare Größe.

Unendlich im Sinne von ∞ ist kein Grenzwert. Sonst würde man Reihen wie die harmonische Reihe als konvergent gegen +∞ bezeichnen, aber man bezeichnet sie als divergent - immerhin als bestimmt divergent, im Unterschied zu alternierenden Reihen à la ∑ (–1)^{n}·n.

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Keine Zahl.

"Unendlich" heißt (stark vereinfacht) im Grunde so viel wie: Mehr / größer, als man durch Zahlen ausdrücken kann.

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Wenn du englisch sprechen kannst, dann schau dir doch mal das an ;-)

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Unendlich ist keine Zahl, jedoch dürfte dir dieses Video viele Fragen zu dem Thema beantworten:

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Unendlich ist keine Zahl. Wenn du etwas gegen unendlich gehend betrachtest, dann betrachtest du nur einen Grenzwert und keinen Absolutwert..

z.B. ein Bruch, dessen Nenner gegen unendlich geht, hat den Grenzwert 0

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Deine Frage widerspricht sich. Eine Zahl ist ein klar definiertes Zeichen. zum Beispiel 72155764902675693926384.

"Unendlich" aber beschriebt etwas, was kein Ende hat. Zahlen haben aber immer Enden. 

Also die Antwort auf deine Frage ist: Gar keine Zahl beschreibt Unendlich

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Ich sage es dir !

Kennst du dieses Unendlich Zeichen was man oft in Games einstellt damit man nicht z.B auf Zeit Kämpfen muss was anderes würde mir jetzt spontan auch nicht einfallen LG.

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Die liegende Acht

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