Welche Rolle spielt die Summe aller natürlicher Zahlen (1+2+3+4+...= -1/12) in der Stringtheorie?

1 Antwort

die summe aller natürlichen zahlen ist natürlich NICHT -1/12, sondern undefiniert (oder salopp gesagt "unendlich").

die Riemannsche zeta-funktion von -1 ist gleich -1/12, und für für alle n>1 (!!!) ist die Riemannsche zeta-funktion definiert als die summe (1/1)^n+(1/2)^n+(1/3)^n+..... .

jemand der jetzt gerne fantastisch klingende sensationsmeldungen macht, aber sich nicht um den wahrheitsgehalt kümmert, wird den teil mit "für alle n>1" einfach unter den tisch fallen lassen und dann die (falsche) aussage tätigen, dass die summe aller natürlichen zahlen gleich -1/12 wäre.

mit string-theorie kenne ich mich nicht wirklich aus, aber meines wissens nach kommt die zeta-funktion von -1 vor innerhalb eines formalismus namens "zeta function regularization" vor, und als so ein regulator hat es keinerlei physikalische bedeutung. man kann wahrscheinlich in vielen fällen auch andere regulatoren verwenden und muss nicht auf speziell diesen zurückgreifen. wahrscheinlich ist er einfach nur manchmal der praktischste.

einen regulator verwendet man wenn irgendwo bei einem zwischenschritt in einer rechnung etwas undefiniertes (undendliches) rauskommen würde. mit so einem ergebnis kann man natürlich nicht rechnen. also führt man einen regulator ein der das ergebnis vorerst endlich macht, führt die rechnung dann vollständig aus, wobei sich alle unendlichkeiten zwischen den einzelnen teilergebnissen wegkürzen, und gibt den regulator erst danach wieder weg. das ganze hat also keinerlei physikalische bedeutung, wenn man vielleicht anders gerechnet hätte, und bestimmte ergebnisse bereits vorher günstig zusammengefasst hätte, dann hätte man diesen regulator gar nicht gebraucht und es wäre nirgends in einem zwischenschritt je entwas unendliches aufgetaucht. aber manchmal ist es so einfach viel einfacher.

Geschmackssache, denke ich, es gibt auch Physiker, die genau diese Sprechweise "die Summe ist..." richtig finden, siehe etwa lubos motls blogeintrag zu dem Thema oder seine Antwort bei math.stackexchange. die Summe tritt ja nicht nur in der Stringtheorie auf und die Zeta-Regularisierung ist nur eine (möglicherweise uneinleuchtende)  Methode, auf das Ergebnis -1/12 kommen. 

Man kann ja, wie du angedeutet hast, auch ganz einfach einen e-Regulator einfügen um die Divergenz in einem 1/ε^2-term zu isolieren (den man durch einen Counterterm auffangen kann) während der endliche Teil der Summe eben -1/12 ist.

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