Welche (Potenz-)Reihe konvergiert nur für zwei reelle Zahlen c und -c?

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1 Antwort

Ich spicke mal kurz in mein Complex-Ana-Buch, der Satz zur Laurent-Zerlegung sagt uns:

Jede Funktion f, die auf einem Kreisring r ≤ |z| ≤ R analytisch ist, besitzt eine Zerlegung in Funktionen g, h, sodass f(z) = g(z) + h(1/z), wobei g und h analytisch sind mit Konvergenzradien R und 1/r.

Jede analytische Funktion besitzt auch eine Taylorreihe, also hat unsere gesuchte Funktion eine Laurentreihe. Dein "Kreisring" ist der Ring 100 ≤ z ≤ 100, wir suchen also zwei analytische Funktionen, wobei eine Konvergenzradius 100 hat und eine Konvergenzradius 1/100. Wichtig dabei ist, dass sie auf der Grenze des Konvergenzradius auch konvergieren. ∑ soll eine Summe sein, die von n = 1 bis unendlich läuft, ∑' soll von -unendlich bis + unendlich ohne 0 laufen.

∑(x^n)/n² hat Konvergenzradius 1 mit Randpunkten, also bekommen wir, dass:

∑(x/100)^n/n² = ∑(x^n)/(n²100^n) Konvergenzradius 100 hat, und:

∑(100x)^n/n² = ∑(x^n)(100^n)/(n²) Konvergenzradius 1/100 hat.

Wenn wir in der zweiten Reihe x durch 1/x ersetzen, bekommen wir:

∑(x^n)(100^n)/(n²) = ∑x^(-n)/(100^(-n)(-n)²), den von n abhängigen Koeffizienten habe ich auch umgeschrieben, dass er zur ersten Reihe passt. Diese Reihe konvergiert jetzt für alle x ≥ 100.

Also konvergiert ∑'(x^n)/(n²100^n) genau für |x| = 100, also im reellen Fall für x = -100 und x = 100.

LG

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Kommentar von isbowhten
18.01.2016, 09:20

es fehlen die summationsindices. bei der letzten reihe sind natürlich indices über ganz Z ohne 0 gemeint.

zudem heißt dies laurent-reihe nicht ohne grund. dies ist nicht das, was man typischerweise als potenzreihe definiert. dabei wird nur über n aus N summiert.

damit gilt aber, dass es einen konvergenzradius r gibt, sodass für alle |x|<r konvergenz vorliegt. ist r>0 gibt es also offensichtlich unendlich viele punkte, auf denen konvergenz vorliegt. ist r=0, so könnte es für |x|=0 noch konvergieren, ist dann aber höchstens 1 punkt.

der fragensteller möge sich nun aussuchen, was er eigentlich gemeint hatte.

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Kommentar von Roach5
18.01.2016, 13:29

1. Ich habe die Summationsindizes vorher definiert, man möge sich meine Antwort noch einmal genau durchlesen. 2. Eine Laurentreihe ist eine Potenzreihe. Was du meinst ist eine Taylorreihe, ein Sonderfall der Laurentreihe. Wenn du etwas anderes unter "Potenzreihe" verstehst, dann schau dir die Reihe doch mal genau an und sag mir, ob da nur Potenzen von x mit Koeffizient auftauchen. 3. Ich habe einen Satz angegeben, der begründet, warum Taylorreihen nicht ausreichen, um eine Potenzreihe mit gewollten Konvergenzbedingungen zu konstruieren. Der Einsatz von Laurentreihen war somit nicht nur berechtigt, sondern von Nöten. Aber Hauptsache erstmal runtermachen..

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