Welche Möglichkeiten gibt es ganzrationale Funktionen dritten oder höheren Gerades mit absoluten Glied ohne Taschenrechner zu lösen?

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7 Antworten

Hallo,

bei Funktionen 3. und 4. Grades gibt es die Cardanischen Formeln, die aber sehr schwierig anzuwenden sind - man muß dafür auch mit komplexen Zahlen umgehen können. Ein Näherungsverfahren, das recht einfach zu verstehen ist, ist das Newton-Verfahren, das allerdings imer nur eine Nullstelle liefert in der Nähe des Anfangswertes.

Da es zahlreiche Programme gibt, die so etwas können, kann man sich diese Mühe eigentlich sparen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Wie Volens bereits richtig schrieb, wird bis Klasse 11 zu 90% nur nach einfach zu erratenen Lösungen gefragt -> man kommt mit Ausprobieren weiter. (danach Polynomdivision)

Dann gibt es weitere Spezialfälle, die per Substitution (aus x² und x^4 wird u und u² -> dann pq-Formel und Rücksubst.) oder Biquadratische oder binomische Formeln lösbar sind.

Gibt es kein Restglied, kann x ausgeklammert werden.

Cardanische Formeln haben noch zig Fallunterscheidungen und den möchte ich sehen, der acos(x) ohne Rechner ausrechnet.

Bei Grad 3 und 4 gibt es analog zur pq-Formel die PQRST- & PQRSTUVW Formeln

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

aber die 3.Wurzel von komplexen Zahlen ohne Rechner wird bestimmt auch nur auf 1 Nachkommastelle machbar sein.

Neben Horner... & Newton... gibt es auch noch 

https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion

ein systematisches "Herantasten" mit Verkleinerung des Intervalls (auch eine Art des Probierens), was man bei nicht zu krummen Faktoren auch ohne Rechner hin bekommt.

Unter https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung_f%C3%BCnften_Grades

sind Spezialfälle beschrieben, wo selbst Grad 5 lösbar ist. Die engl. Version hat noch andere schöne Beispiele! Von engl. findet man bei Wiki auch noch Sextic_equation , wo x^6 und x^3 per Substitution zu u² und u wird.

Septic_equation Spezialfall-Lösung des Typs x^7 + 7*a*x^5+14*...

Soll erst mal reichen...

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Für Grad 3 und 4 gibts die cardanischen Formeln. Für Grad 5 und drüber gibts nix allgemeines (Galois-Theorie).

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Ohne Taschenrechner wird es schwer.

Was ohne Taschenrechner, per Hand, noch einigermaßen klappen kann, sind -->

- Intervallschachtelungsverfahren

- Newton-Verfahren

- Euler-Tschebyschow-Verfahren

Trotzdem wirst du dich per Hand ziemlich kaputt rechnen, und nur ein Rechenfehler und du kriegst ein falsches Ergebnis raus.

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Probieren.
Wenn die Mathebuchersteller es gut meinen, sind die Lösungen alle ganzzahlig und stecken im Absolutglied als Teiler drin.
12 z.B. würde geradezu nach {-2 ; -1; 1; 2} schreien oder nach {1 ; 2; 3; 4}.
Und wenn es einige (nicht nur eine) sind, kann man durch die Linearfaktoren dividieren und dann p,q.
Gleichungen 4. Grades kann man (eventuell) substituieren.

Alles andere ist sehr beschwerlich.

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Polynomdivision, Horner Schema, Näherungsverfahren

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puzzle1000 20.01.2016, 23:30

sowohl bei der Polynomdivision als auch beim Horner Schema benötigt man zunächst eine Nullstelle

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